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記事No.42262に関するスレッドです
★ 大学数学の問題 / 卒業かかってる…
大学四年です。非線形解析の問題です。
この問題が全然わからないので誰かお願いします。
No.42262 - 2017/02/26(Sun) 04:40:57
☆ Re: 大学数学の問題 / IT
(1) はノルムの定義にしたがってf(t) の式を書いて、tで微分し、t=0のとき　を計算するだけでは？
No.42263 - 2017/02/26(Sun) 08:26:34
☆ Re: 大学数学の問題 / 卒業かかってる…
どんな感じで解くのでしょうか？
No.42265 - 2017/02/26(Sun) 10:52:24
☆ Re: 大学数学の問題 / IT
1 問題に書いてあるf(t) の定義とノルムの定義にしたがってf(t) の式を書く。
2 積分の中の式を展開。
3 t の次数毎に積分を分ける。
4 t を積分の外に出す。
5 t で微分する。
　注１）t が含まれてない定積分は定数
　注２）合成関数の微分法を使う
6 t=0 を代入。
7 求めた式を整理し　問題のターゲットの式の右辺と比較し等しいことを確認。
No.42267 - 2017/02/26(Sun) 11:02:10
☆ Re: 大学数学の問題 / 卒業かかってる…
申し訳ありませんが、根本的に理解してなさすぎて
手順を読んでもどういう計算して、どういう結果になるてのが、わかりません…
ホントにバカすぎてごめんなさい。
No.42275 - 2017/02/27(Mon) 00:54:52
☆ Re: 大学数学の問題 / 卒業かかってる…
問4の(1)出来たんですが、(2)はどうなるんですか？
No.42276 - 2017/02/27(Mon) 02:37:11
☆ Re: 大学数学の問題 / noname
(2)は(1)とは異なり「条件付き変分問題」ですので，λをパラメータとして新たに与えられる汎関数

H(u)＝G(u)-λ(||u||^2-1)，u∈X

が停留点を持つための必要条件を考えなければなりません．もしvがHの停留点ならば，w∈Xを任意のものとして与えられている時に微分d/dt(H(v+tw))|_[t＝0]が0とならなければなりません．そこで，この微分を計算すると

d/dt(H(v+tw))|_[t＝0]＝∫_[0,1](v(x)^2+2λ)v(x)w(x)dx

となるため，∫_[0,1](v(x)^2+2λ)v(x)w(x)dx＝0が成立する必要があります．ここでwは任意なので，変分法の基本補題よりI上で(v(x)^2+2λ)v(x)≡0となります．この時，||v||＝1よりv(x)^2≡-2λとなります．この時に||v||＝1を用いればλの値を求めることが出来て，その後はvの連続性に注意すれば求めたかった結論が得られます．細かな部分は端折ってあるため，一度ご自身でご確認ください．
____________________________________________________________________

※問題4の補足説明を与えておきます．(1)は「変分問題」，(2)は「条件付き変分問題」に関する問題です．前者の問いでは，汎関数||u||が停留点を持つには

・任意のv∈Xに対して，汎関数||u||の点uでのv方向への方向微分

lim_[t→0](||u+tv||-||u||)/t＝d/dt(f(t))|_[t＝0]

が0である．

が少なくとも成立しなければならず，出題者は(1)ではこの微分を解答者に計算させようとしています．一方，後者の問いは条件付き変分問題であるため，上記の解説にある様な新たな汎関数Hを定め，このHに関する変分問題と思って問題を解く必要があります．こちらの場合でも，Hが停留点vを持つためには

・任意のw∈Xに対して，汎関数Hの点vでのw方向への方向微分

lim_[t→0](H(v+tw)-H(v))/t＝d/dt(H(v+tw))|_[t＝0]

が0である．

が成立する必要があり，(2)を解くためには一先ずこれを満たす様なvを探そうとするのです．その結果としてv≡1またはv≡-1という必要条件が得られます．

※この補足説明が分からなければ，汎関数ではなく関数の場合の停留点の求め方(特に方向微分を使った方法)を思い起こすとよいでしょう．そして，類似した部分を頼りに再び補足説明を読んでいただくと，その言わんとする部分が何であるかが理解できるかもしれません．

※次のURL

http://www.ship.nias.ac.jp/personnel/horiken/Lecture_Note/Appl-Math_Chap-7.pdf

は条件付き変分問題に関するpdf資料に関するものです．もしよければご参考ください．
No.42300 - 2017/02/27(Mon) 23:19:23
☆ Re: 大学数学の問題 / noname
例えば，洋書が読めるようであれば

・Functional_Analysis_in_Mechanics

というSpringerの本を参考にされると理解が深まるかもしれません．大学生の様ですので，学内の図書館へ行くとこの専門書が見つかるかと思います．この本は分厚いので，利用されるおつもりであれば必要な箇所を読んでいただくとよいでしょう．特に「Elements_of_Nonlinear_Functional_Analysis」という名の章を読むとよいかもしれません．
No.42305 - 2017/02/28(Tue) 00:15:42
☆ Re: 大学数学の問題 / noname
解説の最後の辺りで

>その後はvの連続性に注意すれば求めたかった結論が得られます

と述べましたが，正確には「vの連続性と区間Iの連結性に注意すれば求めたかった結論が得られる」となります．実際，v(x)^2≡1を導出した後で次の事実

(事実)：Xを位相空間とし，2点集合{0,1}には離散位相が入っているものとする．また，f:X→{0,1}を連続写像とする．この時，Xが連結空間であることとfが定値写像であることは同値である．

を使えば，vは定値写像なので「v≡1またはv≡-1である」ことが従います．もし位相空間論の基本知識に関して覚束ない様であれば，中間値の定理を使って次の様に議論してもよいです．

[中間値の定理を使った議論の仕方]
vが定値写像でないとする．この時，v(a)＝1かつv(b)＝-1かつa≠bを満たす実数a,b∈Iが存在する．この時，中間値の定理よりv(c)＝0を満たす実数c∈Iが存在するが，点cではv(c)^2≠1となるためv(x)^2≡1に反する．従って，vは定値写像でなければならず，v≡1またはv≡-1である．
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※微分積分学で登場する「中間値の定理」も次の事実

(事実)：X,Yを位相空間，f:X→Yを連続写像とする．この時，Xが連結空間ならば像f(X)はYの連結な部分空間である．

の特殊な場合ですので，「v≡1またはv≡-1である」ことを導くための議論として「位相空間の連結性に着目した議論」が本質的であると言えます．
No.42310 - 2017/02/28(Tue) 10:33:05