問6のモヤユ、リがわかりません。
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No.42328 - 2017/03/01(Wed) 13:46:22
| ☆ Re: 過去問 / noname | | | n枚のカードのそれぞれに対して，A君，B君，C君のどの人に渡すかで3通りの可能性があるため，3人のうちカードを貰っていない人もいてよい場合のカードの渡し方の全総数は3^n通りであり，このうちで
・2人にのみカードを渡す場合は，カードを貰っていない人もいてよい時の総数2^n通りから一方のみがカードをすべて持っている場合の数2を引いた(2^n-2)通りだけある．
・1人だけにカード渡す場合は，1通りである．
であることに注意すると，T_[n]は
T_[n]＝3^n-{3C2・(2^n-2)+3C1・1}＝3^n-3・2^n+3
であり，よって，T_[100]＝3^{100}-3・2^{100}+3となります．ここで，
log_[10](3^{100})＝100・0.4771＝47.71,
log_[10](3・2^{100})＝0.4771+100・0.3010＝30.5771
であることから，3^{100}と3・2^{100}の桁数はそれぞれ48,31であることが分かります．ここで，
log_[10](4)＝2・0.3010＝0.6020,
log_[10](5)＝1-0.3010＝0.6990,
log_[10](6)＝0.3010+0.4771＝0.7781
であることに注意すると，
47+log_[10](5)＜log_[10](3^{100})＜47+log_[10](6),
30+log_[10](3)＜log_[10](3・2^{100})＜30+log_[10](4).
∴5・10^{47}＜3^{100}＜6・10^{47},3・10^{30}＜3・2^{100}＜4・10^{30}.
よって，これらの不等式を使うと
499…99600…003
＝5・10^{47}-4・10^{30}+3
＜T_[100]
＜6・10^{47}-3・10^{30}+3
＝599…99700…003.
(0は29個，9は16個並んでいる)
したがって，T_[100]の桁数は48となります．最後に，T_[100]の一の位の数についてですが，一の位の数はT_[100]を10で割った時の余りに等しいため，この余りを求めればよいです．3^4＝81と2^4＝16を10で割った余りはそれぞれ1,6なので，
T_[100]
＝3^{100}-3・2^{100}+3
＝(3^4)^{25}-3・(2^4)^{25}+3
＝(10k+1)^{25}-3・(10ℓ+6)^{25}+3
＝10K+1-3・(10L+6^{25})+3（二項定理を使った）
＝10(K-3L)+4-3・6^{25}
ここで，k,ℓ,K,Lはある整数です．ところで，n＝1,2,3,...に対して
6^{n+1}-6^n＝6^n・5＝6^{n-1}・3・10
により6^{n+1}-6^nは10の倍数であり，ゆえに6^{n+1}と6^nを10で割った時の余りはどちらも等しいです．特に，6,6^2,6^3,6^4,...のそれぞれを10で割った時の余りは全て6です．したがって，
T_[100]
＝10(K-3L)+4-3・6^{25}
＝10(K-3L)+4-3・(10M+6)
＝10(K-3L-3M)-14
＝10(K-3L-3M-2)+6.
ここで，Mはある整数です．したがって，T_[100]の一の位の数は6です．
(T_[5]についてはご自身で計算してください)
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※もし合同式を御存知であれば，T_[100]の一の位の数の問いについては
T_[100]
≡3^{100}-3・2^{100}+3
≡3^{4・25}-3・2^{4・25}+3
≡1-3・6+3
≡-14
≡-14+20≡6（mod.10）
の様に計算してもよいです．
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No.42337 - 2017/03/01(Wed) 17:29:44 |
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