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記事No.42343に関するスレッドです
★ (No Subject) / 名前
△ABCの外接円をC1,内心をIとする。C1に内接し、AB,ACにそれぞれP,Qで接する円をC2とする。
PQの中点はIであることを示せ。
No.42278 - 2017/02/27(Mon) 09:40:36
☆ Re: / 山旅人
初等幾何学的に見出された事実なのでしょう。これも高校入試の問題なのでしょうか？
いろいろやってみましたが，私には初等幾何的には解決できません。
座標幾何に持ちこんでみます。これもいろいろやってみましたが，下図のように△ABC の外心を原点にとり各点の座標を設定するのが，最も見通しが良さそうです。
まだ計算途中です。２面に隠れてしまいそうなので，取り敢えずの経過のみアップしました。
No.42343 - 2017/03/02(Thu) 00:34:00
☆ Re: / 名前
こちらの問題はIMOの出題候補に挙がった問題で、本試験ではAB=ACの場合で出題されました。
この場合、図の点SはAを含まない弧BCの中点でA,I,Jと一直線でASはC1の直径となります。
ところが本問のように△ABCが一般的な場合、点Sの位置がつかみにくい点がこの問題の難所です。
No.42344 - 2017/03/02(Thu) 07:29:16
☆ Re: / 山旅人
あまりの煩雑さに一度は断念したのですが，何とも寝覚めが悪いので，再度…。Wolfram に因数分解を手伝ってもらいました。

前回の図で，αとβは独立ではなく，任意に定めることが出来るのは A の位置のみです。よって，下図のように A(a，b) とします。また，外接円の半径は 1 として一般性を失わないので，a^2＋b^2＝1 とします。

各点の座標および直線の方程式は，図中に記したように定まります。
P，Q の中点 R が∠A の２等分線 AJ 上にあることはすぐに分かりますが，これだけでは 「R が内心」 とは断定できません。もうひとつの角の２等分線上にあることを示さなければなりません。
幸い，直線 TC が∠C の２等分線なので，R が直線 TC 上にあることを言えば OK で，確かにそれが確認できました。
よって，P，Q の中点 R は△ABC の内心 I です。

それにしても，初等幾何でエレガントに解く方法はないものでしょうか！？！
No.42408 - 2017/03/07(Tue) 10:26:02