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記事No.42399に関するスレッドです
★ 微分係数と微分　及び　式 / 前進
この式が分かりません。ただ単純に

dy/dx=dy/dxを両辺にdxをかけただけでしょうか？

dy/dxはここではやはり比なのでしょうか？傾きを求める式
yの増加量/xの増加量で
dy/dxはyをxで微分するとと習ったのですか

それと微分係数と微分が同じだとするとf'とf'(a)が同じだということでしょうか？

混乱してきたので宜しくお願い致します。
No.42399 - 2017/03/06(Mon) 15:36:01
☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進
続です。
No.42400 - 2017/03/06(Mon) 15:37:25
☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進
最後です
No.42401 - 2017/03/06(Mon) 15:38:10
☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / noname
例えば，私たちの住む地球の表面は球面ですが，その上で住んでいる私たちからすれば視界に見える範囲内では地面は平面の一部に見えます．つまり，曲線や曲面においては，それらの上の各点に対してその点を含む十分に狭い範囲での曲がった部分は直線や平面の一部で近似することが出来ることが分かります．このことから，微分を考えるとは「曲がったものの一部分を平らなものの一部分で近似する」ということだと思えます．


さて，曲線の場合に関する話に立ち戻りましょう．ある曲線C：y＝f(x)が与えられている時に，C上に異なる2点P,Qを「それらが互いに十分に近い位置にある」様にとると，P,Qを端点とする曲線弧は線分PQとほぼ同じ様なものだと思うことが出来ます．ここで，P,Qのx座標の変化分とy座標の変化分をdx,dyで表しましょう．すると，変数yの値のとり方は変数xの値のとり方と関数fに依存するため，dyはfとdxに依存する筈です．ところで，点Qが点Pに対して十分近い位置にあるならば，直線PQの傾きと点Pにおける曲線Cの接線の傾きはほぼ同じですので

dy＝dy/dx×dx≒(点Pでの接線の傾き)×dx

という近似式が成り立つ筈です．ここまでの話の中ではdy/dxは分数なのですが，曲線の直線による近似(1次近似)を考えているため，厳密にはdy/dx＝(点Pでの接線での傾き)の様に点Pでの接線の傾きはdy,dxによる分数では表されないのです．そのため，近似式の意味で「分数にdxをかけるとdyになる」と考えてもよいのですが「dy/dxとは点Pでの接線の傾きである」という理解は正確さに欠けるということです．
No.42403 - 2017/03/06(Mon) 18:54:15
☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / noname
ただ，先程の私の回答も直感に訴えかけて理解させようとするものであり，現代数学では「dy/dxなどという記法は慣習によるものであり，微分とは『曲線上の各点に対する微分係数を求めること』である」として考えます．その結果，微分に関する定義は厳密なものとなりましたがその一方で微分に関する直感的なものは損なわれた感じが否めません．一方，数学の「超準解析」と呼ばれる分野ではその直感的な部分が含まれるようにして関数の微分に関してが定義される様です(私はこの分野について殆ど知りませんので，その詳細を述べることは出来ません)．
No.42404 - 2017/03/06(Mon) 19:04:38
☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進
明日か明後日にゆっくり考えたいと思います
No.42414 - 2017/03/07(Tue) 23:35:07
☆ Re: 微分係数と微分　及び　式 / 前進
ありがとうございました。理解できました。

https://studysapuri.jp/の大学版の数学などがあればいいですが、今のところはないので本、youtube、大学が用意してあるpdfや海外の大学のサイトなどを参考にしながら勉強していきます
No.42422 - 2017/03/08(Wed) 12:12:20