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記事No.42542に関するスレッドです
★ 図形問題（１）（２） / 一男
考えてみたんですが解りません。解説よろしくお願いします。
No.42542 - 2017/03/17(Fri) 18:44:07
☆ Re: 図形問題（１）（２） / X
(1)
条件から
AB=BF
AC=CE
従って
AF:AB=CE:AC=2:1
ですので
△AEF∽△ABC
であり、その相似比は
2:1
よって面積比は4:1
となるので、例えば△ABCの面積を
S[△ABC]
と書くことにすると
S[△ABC]=(1/4)S[△AEF]
=(1/4){(1/2)S[四角形AEDF]}
=(1/8)S[四角形AEDF]
従って△ABCの面積は四角形AEDFの1/8倍です。

(2)
図1,2,3において点を表すアルファベットが重複しているので
混同しないように注意して、以下の回答をご覧下さい。

図2において、線分AD,EFの交点をIとすると
(1)の過程により
AG=(1/2)AI=(1/2){(1/2)AD}
=(1/4)AD=2[cm]
となるので
GD=AD-AG=6[cm]
又、△DFIにおいて三平方の定理から
DF=√(DI^2+FI^2)
=√{((1/2)AD)^2+((1/2)EF)^2}
=5[cm]

次に図3で図2との対応関係を考えると
AG=2[cm]
GD=6[cm]
AD=5[cm]
となるので
AH=x[cm],GH=y[cm]
と置くと、△AGH,△ADHにおいて
三平方の定理により
x^2+y^2=4 (A)
x^2+(6-y)^2=25 (B)
(A)(B)をx,yの連立方程式として
解きます。
さて、その解き方ですが以下のようになります。
(B)より
x^2+(y^2-12y+36)=25
x^2+y^2-12y=-11 (B)'
(B)'-(A)により
-12y=-15
よって
y=5/4
これを(A)に代入して
x^2=4-25/16=39/16
よって
x=(√39)/4

以上からAHの長さは
(√39)/4[cm]
となります。
No.42543 - 2017/03/17(Fri) 19:41:05
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
(2)に関しては次の様に考えてもよいです．


[(2)の別解]
線分EFと線分BD,DGの交点をそれぞれI,Jとし，Fを通り直線BDに直交する直線とEを通り直線CDに直交する直線の交点をKとする．点Hは点Kと一致することに注意しておく．直角三角形BDGと直角三角形IDJが相似であることから，これらの三角形の相似比はDG：DJ＝(2+4)：4＝3：2である．よって，

BG：IJ＝FJ/2：IJ＝3/2：IJ，BG：IJ＝DG：DJ＝3：2.
∴IJ＝1.

ところで，直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることから，

4：3＝1：JK.
∴JK＝3/4.
∴GK＝GJ-JK＝2-3/4＝5/4.

ここで，H＝KよりGH＝5/4である．したがって，直角三角形AGHにおいて三平方の定理を使うと，

AH＝√(AG^2-GH^2)＝√(2^2-(5/4)^2)＝√39/4.
No.42547 - 2017/03/17(Fri) 21:57:46
☆ Re: 図形問題（２） / 一男
Fを通り直線BDに直交する直線とEを通り直線CDに直交する直線の交点をKとする．点Hは点Kと一致することに注意しておく．点Hは点Kと一致する、別解がよく解りません。できれば図も付けて解説お願いします。
No.42550 - 2017/03/18(Sat) 08:29:20
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
では，机の上に下図のひし形AEDFの形の紙があり，この紙には図にある様な線分BC,CD,DBの様な折り目が付いているとします．この時，

・三角形ABCを線分BCを折り目として折ると，頂点Aの真下への影の点は線分AA'上をAからA'へと移動する．
・三角形BDFを線分BDを折り目として折ると，頂点Fの真下への影の点は線分FF'上をFからF'へと移動する．
・三角形CDEを線分CDを折り目として折ると，頂点Eの真下への影の点は線分EE'上をEからE'へと移動する．

ということが分かります．では，3つの三角形ABC,BDF,CDEを同時に折るとどうなるかというと，それぞれの三角形の頂点A,F,Eの真下への影はそれぞれの移動先の点A',F',E'へ同時に移動しますが，3つの三角形の頂点A,F,E空中のある地点のある1点で一致します．この時，A,F,Eの真下への影も一致している筈です．そして，これら3つの影が一致する点はそれぞれの影の軌跡である線分AA',FF',EE'の交点であることが分かります．
No.42553 - 2017/03/18(Sat) 22:22:14
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
図を付け忘れていました．図は以下の様になります．
No.42554 - 2017/03/18(Sat) 22:24:48
☆ Re: 図形問題（２） / 一男
直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることが解りません。何回もすみません。
No.42557 - 2017/03/19(Sun) 07:55:42
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
∠DLK＝90°であることに注意すると，

∠FKJ＝∠DKL＝∠DLK-∠KDL＝90°-∠KDL＝90°-∠IDJ＝∠DIJ.
∴∠FKJ＝∠DIJ.

また，∠FJK＝90°＝∠DJIであるから，2組の角がそれぞれ等しいことが成立し，ゆえに直角三角形DIJと直角三角形FKJが相似であることが分かります．
No.42558 - 2017/03/19(Sun) 11:55:59
☆ Re: 図形問題（１）（２） / 一男
∠DLK＝90°であることに注意すると、Ｌがどこの位置になるのか解りません。よろしくお願いします。
No.42560 - 2017/03/19(Sun) 12:55:03
☆ Re: 図形問題（１）（２） / noname
>Ｌがどこの位置になるのか解りません。

Lに関する説明がありませんでしたね．失礼致しました．Lは線分BDと直線FKの交点です．
No.42563 - 2017/03/19(Sun) 16:57:29