添付した写真の(2)の推定した一般項を数学的帰納法を用いて証明する問題について解説してほしいです。(1)及び(2)の一般項を推定する所まではできました。しかし、それを証明する部分は解説を見てもよくわかりませんでした。✳普通ならn=1で成り立つことを示しますが、n=1,2で成立することを解答では示していて色々と混乱しています。
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No.42606 - 2017/03/22(Wed) 19:24:20
| ☆ Re: 数学的帰納法を使った証明(数学B) / noname | | | 横レス失礼致します．数列の漸化式を用いると，n≧1に対して
a_[n+2]/(4a_[n+1])
＝Σ_[k＝1,n+1]a_[k]a_[k+1]
＝Σ_[k＝1,n]a_[k]a_[k+1]+a_[n+1]a_[n+2]
＝a_[n+1]/(4a_[n])+a_[n+1]a_[n+2].
∴a_[n+2](1/(4a_[n+1])-a_[n+1])＝a_[n+1]/(4a_[n]).
∴a_[n+2]＝(a_[n+1])^2/(a_[n](1-4(a_[n+1])^2)).…(♯)
よって，a_[1],a_[2],a_[3],a_[4]などの値から類推されるa_[n]の式が実際にそうであることを数学的帰納法で示すには，
?@n＝1,2の場合の主張の成立の確認
?An＝k,k+1の時に主張が成り立つと仮定した時に，この仮定と(♯)を用いてn＝k+2の時にも主張が成立することの確認
の2点に関する議論を行う必要があるのです．
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※数列の漸化式をそのまま用いて問題を考えるのであれば，
?@'n＝1の時の主張の成立の確認
?A'n＝1,2,...,kの時に主張が成立すると仮定した時に，この仮定と数列の漸化式を用いてn＝k+1の時にも主張が成り立つことの確認
の2点の議論を行うタイプの数学的帰納法で証明を行ってもよいです．
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No.42652 - 2017/03/27(Mon) 01:01:08 |
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