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記事No.42664に関するスレッドです
★ PRとSQが平行であることの証明 / A
画像のPRとSQが平行であることの証明はどうしたら良いでしょうか？
AM＞1/2BCです
No.42664 - 2017/03/28(Tue) 21:34:07
☆ Re: PRとSQが平行であることの証明 / らすかる
MはBCの中点ですよね？
他にうまい方法があるかも知れませんが、とりあえず思い付いた方法です。

△APM：△BPM=AM：BM=AM：CM=△ARM：△CRM と △ABM=△ACM から
△BPM=△CRM なので PR//BC
Pを通りAQに平行な直線とRを通りASに平行な直線の交点をTとすると
PRの中点がAM上にあることから直線AMは平行四辺形APTRの対角線なので
Tは直線AM上にあり、△TRM=△TPM です。
そして △ASM∽△TRM、△AQM∽△TPM で
△ASM：△TRM=AM：TM=△AQM：△TPM なので
△ASM=△AQM
△ABM=△ACM なので △BSM=△CQM
よってBC//SQなのでPR//SQ
No.42668 - 2017/03/28(Tue) 23:21:17
☆ Re: PRとSQが平行であることの証明 / ヨッシー
別解です。
角の二等分線の定理より
　ＡＲ：ＲＣ＝ＡＭ：ＭＣ
　ＡＰ：ＰＢ＝ＡＭ：ＢＭ
ＣＭ＝ＢＭより
　ＡＲ：ＲＣ＝ＡＰ：ＰＢ
よって、ＰＲ//ＢＣ

メネラウスの定理より
　(ＲＣ/ＡＲ)(ＡＳ/ＳＢ)(ＢＭ/ＣＭ)＝1
　(ＰＢ/ＡＰ)(ＡＱ/ＱＣ)(ＣＭ/ＢＭ)＝1
ＢＭ＝ＣＭ および ＲＣ/ＡＲ＝ＰＢ/ＡＰ より
　ＡＳ：ＳＢ＝ＡＱ：ＱＣ
よって、
　ＳＱ//ＢＣ

以上より　ＰＲ//ＳＱ
No.42669 - 2017/03/30(Thu) 09:31:48
☆ ヨッシーさんの別解補足 / angel
ヨッシーさんの別解で、MR,MPが角 ( 内角 ) の二等分線ということで、長さの比の条件を導いていますが、これは外角の二等分線でも類似の性質が使えます。

すなわち、AMの先を延長して考えてみると、MQ,MSはそれぞれ外角の二等分線ですから、
　MA:MC=QA:QC
　MA:MB=SA:SB
ということで、後は同様に AQ:AC=AS:AB

外角の二等分線の話については、例えば次をどうぞ。
http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html
No.42671 - 2017/03/31(Fri) 12:28:03