[ 掲示板に戻る ]
記事No.42815に関するスレッドです
★ 常微分方程式 / なにゃら
次の曲線群が満たす微分方程式を作れ
・円:x^2+y^2=1 に接する直線群
直線の方程式はx=cosA,y=sinAとすると
xcosA+ysinA=1 〜?@
両辺をxで微分すると
cosA+y'sinA=0 〜?A

あとは?@と?AからAを消去するのですがうまくいきません。
No.42795 - 2017/04/15(Sat) 00:49:30
☆ Re: 常微分方程式 / angel
(cosA)^2+(sinA)^2=1 の形に持っていくことを考えてみてください。
?@,?Aは、見方を変えれば cosA, sinA に関する連立方程式です。なので、cosA=…,sinA=… と解けるはずです。

ただ、分数の形を作るのはちょっと気持ち悪いので、割らずに行った方がいいかもしれません。
No.42796 - 2017/04/15(Sat) 08:47:12
☆ Re: 常微分方程式 / なにゃら
ご回答ありがとうございます.
cosA=〜やsinA=〜とすると右辺にsinAやcosAが出てくるのでAを消去できないのですがどうしましょう.
No.42806 - 2017/04/16(Sun) 00:46:57
☆ Re: 常微分方程式 / angel
出揃っている条件は、

　xcosA + ysinA = 1
　cosA + y'sinA = 0

ですよね。
…cosA とか sinA と見えない方が迷わない?

　xC + yS = 1
　C + y'S = 0

とでも置き換えますか。C,S の連立一次方程式と見ると

　C=y'/(xy'-y)
　S=-1/(xy'-y)

と解けるはずです。そこから C^2+S^2=1 という前提を使って…と。

ただ、分数にせずに (xy'-y)C=y', (xy'-y)S=-1 から (xy'-y)^2・(C^2+S^2)=… とした方が個人的には気持ち悪くないかなあ、とは。
No.42813 - 2017/04/16(Sun) 15:29:06
☆ Re: 常微分方程式 / angel
ちなみに、こういう切り口も考えられます。

当該曲線(直線)群の中で、(p,q)を通るものを考えた時。
それは、q'x-y=pq'-q となるはずで ( 添付の図左側 )、
実はそれが円への接線 ( 添付の図右側 )

すなわち、直線 q'x-y=pq'-q と円の中心(原点)との距離が 1 ということで、

　|pq'-q|/√(q'^2+1)=1

p,qとしていたのは、あくまで直線や円の方程式と出てくるx,yと混同しないためなので、改めてx,yに直すと

　|xy'-y|/√(y'^2+1)=1

こっちを整理しても同じ式になるはずです。
No.42815 - 2017/04/16(Sun) 16:03:00
☆ Re: 常微分方程式 / なにゃら
最近多忙で返信が遅れてしまいました.すいません.

連立方程式の部分は僕が勘違いしていました.
後者のやり方もきちんと理解できました.
質問だけでなく+αのことも教えていただきありがとうございます.
No.42857 - 2017/04/19(Wed) 01:03:01