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記事No.42826に関するスレッドです
★ 偏微分の問題 / たなお
以下の問題の解き方がわかりません。ご教授願います。

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＜問題＞
半径aの円に外接する三角形のうちで面積が最小のものを求めよ。

＜答え＞
１辺の長さが2√(3a)の正三角形
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偏微分の極値の判定に関連する問題として出てきました。
三角形の各辺をx,y,zと置くことを考えましたが、判別式(D(x,y)：詳細は添付画像参照)が使えなくなってしまい、困っています。

どうかよろしくお願いいたします。
No.42826 - 2017/04/17(Mon) 16:45:53
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
円の中心から各頂点に線を引いて、3つの三角形に分割して考えてみましょう。そして、その中心角のうち2つを x,y とします。

円の中心が三角形の内側か外側かで状況が変わるように見えるかも知れませんが、実は式としては同じものとして扱えます。
No.42830 - 2017/04/17(Mon) 20:19:15
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
angelさん

回答ありがとうございます。

三角形が内接している場合はそのようにして解きましたが、外接の時も同じように解けるのでしょうか（画像のような考え方ですよね？）。お手数ですが、さらに詳しい解説をお願いできますでしょうか。
No.42831 - 2017/04/17(Mon) 20:46:21
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
あ! ごめんなさい。内接の時と勘違いしてました。

外接の場合は、こうですね。
円の中心 ( 内心 ) から各頂点、接点へ6本分線を引いた時に、3組の等しい角ができますので、その内の2つを x,y とします。
No.42832 - 2017/04/17(Mon) 21:50:45
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
angelさん

回答ありがとうございます。

xとyを上図のように定めたのち、三角形の面積 S(x,y) はどう表せばいいでしょうか。なんども申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。
No.42833 - 2017/04/17(Mon) 22:13:41
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
例えば x ( 赤い角 ) に対応する三角形×2 は、どちらも辺の長さ a, atanx, a/cosx の直角三角形ですよね ( 最後が斜辺 )。
なので、この部分だけで 2・1/2・a・atanx = a^2・tanx です。

他の部分も同じように。
No.42834 - 2017/04/17(Mon) 22:24:49
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
angelさん

理解できました。助かりました。
ありがとうございます！
No.42836 - 2017/04/17(Mon) 22:43:05