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記事No.42874に関するスレッドです
★ (No Subject) / ホラフキン
よろしくお願い申しあげます。
No.42873 - 2017/04/19(Wed) 21:05:48
☆ Re: / ホラフキン
よろしくお願い申しあげます。
No.42874 - 2017/04/19(Wed) 21:06:24
☆ Re: / IT
場合分けが多いので、ご希望の解法ではないかも知れませんが

5/4 < k/n < 4/3
(5/4)n < k < (4/3)n
n+(1/4)n < k < n+(1/3)n
(1/4)n < k-n < (1/3)n
m=k-n とおく

n=12q+r,(q,r は整数、q≧0,0≦r＜12) とおくと
3q+(1/4)r < m < 4q+(1/3)r

r=0 のとき　3q < m < 4q 　　　　　　　 よってq≧2
r=1 のとき　3q+(1/4) < m < 4q+(1/3) 　よってq≧1
r=2 のとき 3q+(2/4) < m < 4q+(2/3) 　よってq≧1
r=3 のとき　3q+(3/4) < m < 4q+1 　よってq≧1
r=4 のとき　3q+1 < m < 4q+1+(1/3) よってq≧1
r=5 のとき　3q+1+(1/4)< m < 4q+1+(2/3) よってq≧1
r=6 のとき　3q+1+(2/4)< m < 4q+2 よってq≧1
r=7 のとき　3q+1+(3/4)< m < 4q+2+(1/3) よってq≧0
r=8 のとき　3q+2 < m < 4q+2+(2/3) よってq≧1
r=9 のとき　3q+2+(1/4)< m < 4q+3 よってq≧1
r=10のとき　3q+2+(2/4)< m < 4q+3+(1/3) よってq≧0
r=11のとき　3q+2+(3/4)< m < 4q+3+(2/3) よってq≧0
No.42880 - 2017/04/19(Wed) 23:38:12
☆ Re: / 黄桃
本質的に対偶を示すことになると思います。

すぐ思いつく証明は以下の通りです。
5/4=15/12
4/3=16/12
4/3-5/4=1/12
であるから、nが12の約数、すなわち、n=1,2,3,4,6(,12)であれば、k/nは　1/12の倍数だから(C1)を満たすkは存在しない。
n=5 の時は、5/4=75/60, 4/3=80/60, k/5=12k/60 であり、12*6=72, 12*7=84 だから(C1)を満たさない。

（どうして思いついたか）
両端の差をd とすれば、1/n<d となる nは(C1)を満たすことは明らかなので、それ以外の場合を調べれば済むな、と考えます。
そこで、5/4, 4/3 を通分してみたら、分母が12,差が1/12 になり、うまくできているな、と上の証明ににたどりつきました。
n=5 の場合は別扱いが必要に思います。
No.42881 - 2017/04/20(Thu) 01:16:34
☆ Re: / angel
実数rと整数zに関して、不等式 r＜k-n≦z を満たす整数 k の存在に関しては、r＜z が必要十分です。( 少なくとも k=n+z が存在 )

それを踏まえると、n の場合分けは、3で割った余りの3通りに絞れます。( どちらにせよ、なんらかの場合分けは避けられないと思います )

先に 5/4＜k/n＜4/3 を n/4＜k-n＜n/3 と変形し、

* n=3m-2 の場合、n/3 未満の最大の整数は m-1
　n/4＜k-n＜n/3 ⇔ (3m-2)/4＜k-n≦m-1
　よって (3m-2)/4＜m-1 を解いて m＞2 すなわち m≧3
　これを満たす最小の n は 7

* n=3m-1 の場合、n/3 未満の最大の整数は m-1
　n/4＜k-n＜n/3 ⇔ (3m-1)/4＜k-n≦m-1
　よって (3m-1)/4＜m-1 を解いて m＞3 すなわち m≧4
　これを満たす最小の n は 11

* n=3m の場合
、n/3 未満の最大の整数は m-1
　n/4＜k-n＜n/3 ⇔ 3m/4＜k-n≦m-1
　よって 3m/4＜m-1 を解いて m＞4 すなわち m≧5
　これを満たす最小の n は 15

いずれにせよ、nが7以上と分かります。

なお、こう分類しておくと、(2)もそのまま答えが出ます。
No.42882 - 2017/04/20(Thu) 01:19:43
☆ Re: / ホラフキン
御三人の方々、わかりやすい解説ありがとうございました。
No.42905 - 2017/04/20(Thu) 22:06:04