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記事No.42895に関するスレッドです
★ 掃き出し法で単位行列を使う理由 / イリヤ
掃き出し法で単位行列を使う理由がわかりません。
画像で波線をひいている様に、掃き出し法を使うことにより解の列ベクトルが求まりその時に単位行列を用いることがテキストに書いてありますが、単位行列を用いなければならない理由がわかりません。その原理はどのようなものなのでしょうか？
No.42895 - 2017/04/20(Thu) 17:43:43
☆ Re: 掃き出し法で単位行列を使う理由 / angel
それには、「行基本変形」が、「左からある特定の正則行列をかける」のと同じことである、という認識が必要です。
これは教科書にまず書いてあるはずの事柄なので、読み返してください。

そうすると、「行基本変形を複数回行う」というのも「左から何かしら正則行列を複数個かける」なので、結合法則により束ねることができて、結局「ある正則行列を一度かける」とまとめられます。

ではここで、(A|b)が行基本変形の繰り返しで(E|u)になったとしたら。
上の話から、ある正則行列Xに対して
　X(A|b)=(E|u)
ということですから、
　XA=E, Xb=u
ということです。

じゃあこのXは何? と言われると、XA=E なので、実はAの逆行列に他ならないのです。
※Aが正則じゃなかったらどうするんだ、と思われるかもしれませんが、そもそもその時は(E|u)の形まで持っていけません。

なので、u=Xb=A^(-1)・b となって、ほしい答えになっている、ということです。
No.42909 - 2017/04/21(Fri) 07:06:58