以下の問いの解法が分かる方、ご教授願います。
問1.nを3以上の整数とする。x^n+2y^n=4z^n を満たす整数x,y,zの値を求めよ。
問2.等式[x]=[x²/2] を満たす実数xの範囲を求めよ。但し、[x]はxを超えない最大の整数を表すものとする。
どちらか一方のみでも構いません。よろしくお願いします。
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No.42977 - 2017/04/27(Thu) 22:41:23
| ☆ Re: 整数問題 / IT | | | 問1 自明な解(x=y=z=0)以外に解はない。
自明な解以外の解(x,y,z)があるとする.
x,y,z がすべて偶数のとき
すなわち(x,y,z)=(2a,2b,2c) が解のとき、(a,b,c) も解となる.
よってx,y,zのうち少なくとも１つは奇数である解(x,y,z)がとれる。
ところが、x^n=4z^n-2y^n なので、x は偶数。
x=2a とおくと y^n=2z^n-(2^(n-1))a^n,n≧3から, yも偶数。
同様にzも偶数であることが示せる。(御自分でやってみてください）
これは矛盾.
よって自明な解(x=y=z=0)以外の解はない。
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No.42981 - 2017/04/27(Thu) 23:45:54 |
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