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記事No.43025に関するスレッドです
★ (No Subject) / ｋ
一、(1)次の置換を互換の積(合成)で表し、その符号を計算せよ。
1,(1 2 3 4)
　(3 1 4 2)
2,(1 2 … n-2 n-1 n)
　(3 4 … n 1 2)
一つの()に収まらないので、二行に分けせていただきました

二、Σnに関する次の問題に答えよ。(nは添え字です)
1,sを互換(1 2)とする。任意の奇置換xに対してある偶置換yが存在し、x=ysとなることを示せ。(ヒント:s^2=1を用いよ。)
2,x,x´,y∈Σnに対して、xy=x´yとx=x´が同値であることを示せ。
3,Σnの偶置換の個数はn!/2であることを示せ。

三、m×k行列Aとk×n行列Bに対して次が成り立つことを示せ。
t(AB)=tAtB　(tは左肩に乗っています)

以上の問題を教えていただけませんか？
No.43018 - 2017/05/01(Mon) 22:34:57
☆ Re: / angel
一
置換というのは可視化すれば「あみだくじ」に他なりません。( 尤も、軸を飛び越えたりする配置もできるので、もっと自由ですが )
そして、置換の積というのはあみだくじを繋げること。
…という見方をすれば、1. は3つの互換の積で表せることが分かります。つまり奇置換。

じゃあ2.は、というと同じようにあみだを構成してみればいいわけです。
No.43025 - 2017/05/02(Tue) 11:35:10
☆ Re: / angel
二
1.
上の一の話の延長で言うと、同じ互換を二連続でかけると、2要素がひっくりかえって、また元に戻って来る、つまり結果的に入れ替わりなしになることがイメージできるかと思います。
これがヒントにある、s・s=I ( 数字の1じゃなくてアイ、恒等置換 )

ということで、x・s = y と置けば x・s・s = y・s
置換の積は結合法則が成り立つ…あみだで言えば、途中を部分的に評価して良いってことです。
なので、x・s・s = x・( s・s ) = x・I = x と。つまり、上で置いた y が問題で聞かれているもの。

偶置換と奇置換は、互換の積に分解した時の互換の個数の偶奇なわけなので、この1違いがちょうど効いてくるわけです。

2. y を互換の積に分解して、同じ互換を逆順にかけていけば…? 同じ互換同士が結合して恒等置換に化けていくわけですから…と。
No.43026 - 2017/05/02(Tue) 11:42:54
☆ Re: / angel
三
行列の積って何? というのを丁寧に。

C=AB ( A:m×k行列、B:k×n行列、自動的に C:m×n行列 ) であれば、
C(x,y)=Σ[z=1,k] A(x,z)B(z,y)
Σが分かりにくければ必ず和としてほぐして認識すること。
　C(x,y)=A(x,1)B(1,y)+A(x,2)B(2,y)+…+A(x,z)B(z,y)+…+A(x,k)B(k,y)

じゃあ、例えば m=3,k=4,n=5 の場合に、t(AB) t(B)t(A) 両辺のどこか、テキトーに(2,3)要素を取ってきて比較してみると

t(AB)(2,3)
=(AB)(3,2)
=A(3,1)B(1,2)+A(3,2)B(2,2)+A(3,3)B(3,2)+A(3,4)B(4,2)

(t(B)t(A))(2,3)
=t(B)(2,1)t(A)(1,3)+t(B)(2,2)t(A)(2,3)+t(B)(2,3)t(A)(3,3)+t(B)(2,4)t(A)(4,3)
=B(1,2)A(3,1)+B(2,2)A(3,2)+B(3,2)A(3,3)+B(4,2)A(3,4)

ってことで、ちゃんと要素同士同じ値になってるわけです。
これを全要素、文字で書き表してあげましょう。
No.43027 - 2017/05/02(Tue) 11:52:56