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記事No.43106に関するスレッドです
★ (No Subject) / アクア
この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。5のこたえは3ルート7で6のこたえは3ルート5/5とルート10/10です。できれば図を書いていただけるとありがたいです
No.43106 - 2017/05/09(Tue) 12:35:22
☆ Re: / ヨッシー
[5]

底面の半径４と高さ3√5 から、母線の長さＯＡは６とわかります。

展開図を描くと、上の図のようになります。
ＡＰを直線で結んだときの長さが、ＡＰの最短距離となります。

　∠ＡＯＡ’（180°より大きい方）＝360°×4/6＝240°
よって、
　∠ＡＯＡ’（180°より小さい方）＝120°
ＡＡ’の中点をＱとすると、
　∠ＡＯＱ＝60°
なので、
　ＯＰ＝ＯＱ＝３，ＡＱ＝3√3
より、△ＡＰＱにおける三平方の定理より
　求めるＡＰ＝√{(3√3)^2＋6^2}＝3√7

[6]
(1)
ＣＢ＝ｘ とおくと、
　ＣＤ＝ＣＥ＝√3ｘ
　ＣＡ＝３ｘ
となります。∠ＣＡＢ＝θと置きます。
△ＣＡＥにおける余弦定理より
　cosθ＝(9ｘ^2＋1−3ｘ^2)/6x＝ｘ＋1/6x　　・・・(i)
△ＣＡＢにおける余弦定理より
　cosθ＝(9ｘ^2＋9−ｘ^2)/18x＝4x/9＋1/2x　・・・(ii)
(i)(ii)より
　ｘ＋1/6x＝4x/9＋1/2x
両辺ｘを掛けて整理すると
　5x^2/9＝1/3
　ｘ^2＝3/5
　ｘ＝√(3/5)＝√15/5
よって、ＣＤ＝√3ｘ＝3√5/5

(2)
(i) より
　cosθ＝√15/5＋5/6√15＝23√15/90

△ＡＣＦにおける余弦定理より
　ＣＦ^2＝ＡＣ^2＋ＡＦ^2−２ＡＣ・ＡＦcosθ
これに
　ＡＣ＝3√15/5、ＡＦ＝２
を代入して
　ＣＦ^2＝27/5＋4−46/5＝1/5
△ＣＤＦにおける三平方の定理より
　ＤＦ^2＝ＣＤ^2＋ＣＦ^2＝9/5＋1/5＝２
　（ＣＦ/ＤＦ)^2＝(1/5)／2＝1/10
よって、
　cos∠ＤＦＣ＝ＣＦ/ＤＦ＝√10/10
No.43108 - 2017/05/09(Tue) 15:41:27