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記事No.43117に関するスレッドです
★ (No Subject) / 〆
この例題の⑵が分かりません。⑵の➁の式k+l=c までは出せるのですが、何故この式の解(k l)が、(1 , c-1) (2 , c-2) ... (c-1 , 1) だから、題意を満たす格子点の個数が(c-1)個という事になるのでしょうか？
No.43117 - 2017/05/10(Wed) 14:33:58
☆ Re: / ヨッシー
ｋ＋ｌ＝ｃ の ｋ，ｌ，ｃ はすべて自然数なので、
例えば、ｋ＋ｌ＝５ を満たす(k, l) は、
　(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
の４個ですね？
ｋの値だけを見ると、
　１，２，３・・・ｃ−１
ですので、ｃ−１個です。
　
No.43118 - 2017/05/10(Wed) 14:58:48
☆ Re: / 〆
ありがとうございます！、
No.43120 - 2017/05/10(Wed) 15:18:22
☆ Re: / 〆
すみません…やはり少しわからないところがあります。そもそもなぜ、(x/a)+(y/b)=1 と言う式を変形しただけで、最終的に線分上の格子点の個数が分かるのでしょうか… この式と、その格子点の個数との関連性がイマイチ言葉として掴めません…
No.43121 - 2017/05/10(Wed) 20:17:31
☆ Re: / angel
例えば a=35,b=56 としましょうか。直線としては x/35+y/56=1

この上の格子点としては、(10,40) というのが1つあるんですが ( 10/35+40/56=1 が成立しますから )、その隣の、やはりこの直線上にある格子点はどこか? と考えてみます。

すると、
　x/35+y/56=1
　10/35+40/56=1
辺々引いて
　(x-10)/35+(y-40)/56=0
　8(x-10)=5(40-y)
なので、次 ( xが増える方 ) だと、x-10=5, 40-y=8 となる (15,32) となります。
つまりxは5ずつ増え、yが8ずつ減る。5,8は互いに素ですから、こうなるしかないのです。

で、この5,8がどこから出てきたかと言えば、a=35,b=56 の最大公約数 c=7 に対して、a/c=5, b/c=8 だからです。

格子点を全部書き出してみると、
　(5×1,8×6),(5×2,8×5),(5×3,8×4),(5×4,8×3),(5×5,8×2),(5×6,8×1)
この×の後ろだけ見れば 1〜c-1 が綺麗に並んでる、ということです。

※約分してみれば、
　5/35+48/56=1, 10/35+40/56=1, 15/35+32/56=1, …, 30/35+8/56=1 は
　1/7+6/7=1, 2/7+5/7=1, 3/7+4/7=1, …, 6/7+1/7=1
　という組を列挙してるのと変わらないと分かります
No.43123 - 2017/05/10(Wed) 22:17:12
☆ Re: / 〆
返信ありがとうございます。少し気になる事があったのですが、画像の最後に小さく書いてある、a b(切片)が互いに素の時、題意を満たす格子点は存在しなくなる。とありますが、これは要するに、a b切片が、両者整数値の時のみ、(a b の最大公約数-1)という認識でよろしいでしょうか？ a b が少数の時の最大公約数 となるとまた話は別ですか？
No.43125 - 2017/05/11(Thu) 01:03:28
☆ Re: / angel
> a b切片が、両者整数値の時のみ、(a b の最大公約数-1)という認識でよろしいでしょうか？

はい。そうですね。(a b の最大公約数)が c として表されていて、c=1 つまり「互いに素」であれば、条件を満たす格子点は 1-1=0個、つまり「存在しない」です。

> a b が少数の時の最大公約数 となると
あくまでa,bが整数ということで話を整理していますから、またそれは別の話ですね。( そもそも学校の範囲では小数の約数・倍数は扱わないというのもありますが )
No.43140 - 2017/05/11(Thu) 21:42:08