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記事No.43145に関するスレッドです
★ 偏微分の問題 / たなお
偏微分についてわからない問題があります。

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＜問題＞
x = u^2 + v^2 , y = uv , z = f(sinx , cosy) とする。偏導関数 ∂z/∂u を ∂z/∂x , ∂z/∂y を用いて表せ。

＜回答＞
∂z/∂u = 2u*(∂z/∂x)*cosx - v*(∂z/∂y)*siny
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自分で行った計算は添付画像の通りです。
どこで考え違いをしているのでしょうか。

よろしくお願い致します。
No.43130 - 2017/05/11(Thu) 15:51:36
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
すいません、画像の中に一部正しくない部分があったので再UPします。
訂正箇所は赤文字で表記しています。

ちなみに、書き間違いの部分は計算結果には影響ありません。
よろしくお願い致します。
No.43137 - 2017/05/11(Thu) 17:25:32
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
これ、問題と答えが合ってないんじゃないでしょうか。

　x = u^2 + v^2 , y = uv , z = (何か)
　→ ∂z/∂u=2u・∂z/∂x + v・∂z/∂y

ですよ。z の形に関わらず。sin や cos は出てきません。

　偏導関数 ∂z/∂u を ∂f/∂x , ∂f/∂y を用いて表せ
　→∂z/∂u = 2u(∂f/∂x)cosx - v(∂f/∂y)siny

なのでは。それなら辻褄が合います。
No.43139 - 2017/05/11(Thu) 21:26:24
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
∂z/∂u＝∂z/∂x･∂x/∂u＋∂z/∂y･∂y/∂u＝2u･∂z/∂x＋v･∂z/∂y
で終わりではないですか？
No.43141 - 2017/05/11(Thu) 21:50:52
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
出題者の意図は，
　z＝f(X,Y), X＝sinx, Y＝cosy, x＝u^2＋v^2, y＝uv で
　∂z/∂u＝∂f/∂X･∂X/∂x･∂x/∂u＋∂f/∂Y･∂Y/∂y･∂y/∂u を上のように略記している
と解釈したのですが…
No.43142 - 2017/05/11(Thu) 22:03:28
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
angelさん、関数電卓さん

ご回答ありがとうございます。
念のため、実際に記載されている問題を写真に撮って添付します。
画像の３の(2)です。

実際には ∂z/∂u と ∂z/∂v を求めることになっていますが、片方がわかればもう片方は同じように解けると考え、 ∂z/∂u の解き方のみ伺いました。

私が何か勘違いをしていますでしょうか？
よろしくお願い致します。

＞angelさん
∂z/∂x と ∂f/∂x は同じものとして扱っていいと思っていましたが、もし違いがあるのなら、その部分も教えていただけますでしょうか。
No.43144 - 2017/05/11(Thu) 22:17:56
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
ちなみに本は裳華房の微分積分です。
最新の正誤表も確認しましたが、誤記載ではないようです。

あと念のため、回答のページの写真も送付します。
申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。
No.43145 - 2017/05/11(Thu) 22:27:36
☆ Re: 偏微分の問題 / 関数電卓
本の解答は，∂z/∂x という記号を，∂z/∂(sinx) の意味で使っていますね。間違いと言えば、間違いでしょう。
いずれにしても、例えば、f(sinx,cosy)＝sinx＋cosy のように f が具体的に与えられれば、間違うことはありません。
No.43146 - 2017/05/11(Thu) 22:50:14
☆ Re: 偏微分の問題 / angel
誤植でないことは了解しました。が、いずれにせよ、これは問題集の書き方が悪いです。

∂z/∂x ( 原文では z に下添え字 x ) での z は f(x,y) のことですし、
∂z/∂u ( 原文では z に下添え字 u ) での z は f(sinx,cosy) のことのようです。
つまり、別のものを同じ記号 z で表してしまっている訳で、紛らわしいことこの上ないです。

> ∂z/∂x と ∂f/∂x は同じものとして扱っていいと思っていましたが、もし違いがあるのなら、その部分も教えていただけますでしょうか。

z=f(x,y) なのであれば、∂z/∂x のことを ∂f/∂x とも表しますし、それで問題ありません。
しかし、問題文で z=f(sinx,cosx) と言ってしまっている以上、∂z/∂x と ∂f/∂x は別物です。

ということで、やはり、
> 偏導関数 ∂z/∂u を ∂f/∂x , ∂f/∂y を用いて表せ
とすべきところを書き間違えた、と見るほかなさそうです
No.43147 - 2017/05/11(Thu) 23:28:06
☆ Re: 偏微分の問題 / たなお
関数電卓さん、angelさん

回答ありがとうございます。
なるほど。問題の書き方におかしいところがあるのですね。
理解できました。

本当に助かりました。
ありがとうございます。
No.43150 - 2017/05/12(Fri) 01:58:48