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記事No.43240に関するスレッドです
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1の3乗根に関する式
/ メロン
引用
画像の命題を示したいと思っています。
左辺を二項定理で展開したり、極形式を導入したり、絶対値を考えたり、両辺を(2^{1/3}-1)^nで割ったりしてみましたが、どうもうまくいきません。
何かアイデアをお持ちの方がいらっしゃいましたら、お教え頂けると嬉しいです。
No.43240 - 2017/05/20(Sat) 11:19:51
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Re: 1の3乗根に関する式
/ IT
引用
a=2^(1/3) とおいたとき
a^(3k+2),(kは０以上の整数) の項だけが残りますね。（他の項はω^2+ω+1=0によって消えますから）
たとえば
n=2 のとき 与式/3＝C(2,2)(a^2)=a^2
n=3 のとき 与式/3＝C(3,2)(a^2)(-1)^1=-3a^2
n=4 のとき 与式/3＝C(4,2)(a^2)(-1)^2=6a^2
n=5 のとき 与式/3＝C(5,5)(a^5)+C(5,2)(a^2)(-1)^3=2a^2-10a^2=-8a^2
n=6 のとき 与式/3＝C(6,5)(a^5)(-1)^1+C(6,2)(a^2)(-1)^4=6*2(a^2)(-1)+15(a^2)=(-12+15)a^2=3a^2
一般の自然数ｎについて与式≠0をどう示すのかは分かりません。
No.43265 - 2017/05/21(Sun) 00:48:16
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Re: 1の3乗根に関する式
/ メロン
引用
ITさん、ありがとうございます。
自分で色々考えてみたのですが、以下のような方針では駄目でしょうか。
P[n](x)=(x-1)^n+ω(ωx-1)^n+ω^2(ω^2x-1)^n
とおくと,これは実数係数多項式で示すべきはP[n](2^(1/3))≠0.
P'''[n](x)=n(n-1)(n-2)P[n-3](x)であることとP[n](1),P'[n](1),P''[n](1)の値が虚数を含まない式で表せることから,あるnの式f[n],g[n]を用いて,1≦x≦2^(1/3)において0<f[n]<|P[n](x)|<g[n]が成り立つことをnに関する帰納法で示す（ただしP[n](1)=0の場合は,P[n](2^(1/3))=0と仮定するとあるx_0(1<x_0<2^(1/3))に対してP'[n](x_0)=0が成り立つこととP'[n](x_0)≠0より,上のP[n](x)をP'[n](x)に置き換えて同様の議論をする）.
No.43272 - 2017/05/21(Sun) 13:58:58
