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記事No.43298に関するスレッドです
★ 極限の問題 / とうふ
この二問のやり方が分からないです。答えは配ってもらえてないので、のせられなくて申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
No.43298 - 2017/05/23(Tue) 06:31:49
☆ Re: 極限の問題 / X
(1)
n→∞を考えるのでn≧6としても問題ありません。
このとき
(5^n)/n!={(5^5)/(5!)}・(5/6)(5/7)…(5/n)
＜{(5^5)/(5!)}・(5/6)^(n-5) (A)
(A)と
0＜(5^n)/n!
から、はさみうちの原理により
(与式)=0

(2)
ロピタルの定理が使えるのであれば7回適用して
(与式)=lim[x→∞]7!/{(3^x)(log3)^7}
=0
となります。
No.43307 - 2017/05/23(Tue) 18:06:40
☆ Re: 極限の問題 / とうふ
ありがございます。助かりました！もう一つ聞きたいのですが、（1）のような問題のとき、いつもはさみうちかな？と思うのですが、うまく挟む式を見つけられません。何かコツはありますか？
No.43314 - 2017/05/23(Tue) 23:02:58
☆ Re: 極限の問題 / noname
(2)については次の様に考えてもよいです．


[別解]
定積分において，被積分関数の値が積分区間上で常に非負の値をとるならば，その定積分の値も非負である．このことを用いると，

0＜x^7/3^x＝x^7/e^{xlog3}≦(xlog3)^7/e^{xlog3}

x≧0の時，e^x＞1である
⇒x≧0の時，e^x-x＝∫_[0,x](e^t-1)dt≧0である
⇒x≧0の時，e^x-x^2/2!＝∫_[0,x](e^t-t)dt≧0である
⇒x≧0の時，e^x-x^3/3!＝∫_[0,x](e^t-t^2/2!)dt≧0である
⇒x≧0の時，e^x-x^4/4!＝∫_[0,x](e^t-t^3/3!)dt≧0である
⇒x≧0の時，e^x-x^5/5!＝∫_[0,x](e^t-t^4/4!)dt≧0である
⇒x≧0の時，e^x-x^6/6!＝∫_[0,x](e^t-t^5/5!)dt≧0である
⇒x≧0の時，e^x-x^7/7!＝∫_[0,x](e^t-t^6/6!)dt≧0である
⇒x≧0の時，e^x-x^8/8!＝∫_[0,x](e^t-t^7/7!)dt≧0である

という推論が成り立つ．この推論の結果として不等式e^x＞x^8/8!がx≧0の範囲で成り立つ．この不等式を用いると，

0＜x^7/e^x＜8!/x

がx＞0で成立し，今得られた不等式の最右辺に関してはx→∞の時に0に収束する．よって，はさみうちの原理によりlim_[x→∞]x^7/e^x＝0が成立する．ところで，x＞0の時，

0＜x^7/3^x＝x^7/e^{xlog3}≦(xlog3)^7/e^{xlog3}

が成立し，lim_[x→∞](xlog3)^7/e^{xlog3}＝0であるから，はさみうちの原理よりlim_[x→∞]x^7/3^x＝0が成り立つ．
No.43315 - 2017/05/24(Wed) 01:12:30
☆ Re: 極限の問題 / noname
>不等式e^x＞x^8/8!がx≧0の範囲で成り立つ．


この証明に関してですが，回答にある証明以外には

・微分法を用いてf(x)＝e^x-x^8/8!がx≧0で常に非負の値をとることを示す．
・主張「e^x＞x^n/n!(x≧0)」が各自然数nに対して成り立つことをnに関する数学的帰納法で示す．

などがあります．ただ，第一の方法に関しては，今回の場合は記述すべきことが多いのであまりお薦めしません．
No.43316 - 2017/05/24(Wed) 01:18:21
☆ Re: 極限の問題 / X
>>もう一つ聞きたいのですが、〜
コツになるかは分かりませんが、収束する値の当たりを
付けるのがまず第一歩だと思います。
(1)の場合だと、十分にnが大きいとき
n!＞5^n
ですので
(与式)=0
となるのではないか？、と考えることができます。
後は、n→∞のとき0に収束するようなnの式を
見つけられるかどうかです。
No.43317 - 2017/05/24(Wed) 17:59:49