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記事No.43432に関するスレッドです
★ 図形 / マヤ
画像の問題ですが。解法が思いつきません。
何通りかありましたら教えてください。
No.43432 - 2017/05/28(Sun) 20:11:08
☆ Re: 図形 / らすかる
PからABに垂線PHを下ろし、PQ=2x,PH=y,(台形の面積)=Sとすると
x^2+y^2=r^2,S=(x+r)y
S＞0なので「面積が最大」⇔「面積の2乗が最大」
S^2=(x+r)^2・y^2=(x+r)^2(r^2-x^2)
{S^2}'=2(x+r)(r^2-x^2)+(x+r)^2・(-2x)
=2(x+r)^2(r-2x)
なのでS^2は2x＜rで増加、2x=rで極大値をとり2x＞rで減少
従ってPQ=2x=r=AB/2のとき面積が最大になり、
このとき∠PAB=π/3
No.43437 - 2017/05/28(Sun) 21:09:09
☆ Re: 図形 / WIZ
# 既にもっと見通しの良い回答が付いているのですが、
# 一生懸命計算したので別解として書き込んでおきます。

∠PAB = xとおきます。

ABの中点をOとすると、OA = OP = OQ = OB = rです。
よって、△OAPと△OBQは合同な2等辺三角形で、∠PAO = ∠APO = ∠OBQ = ∠OQB = xとなります。

また、∠AOP = ∠BOQ = π-2xですので、
台形の高さは、r*sin(∠AOP) = r*sin(π-2x) = r*sin(2x)となり、
{△OAPの面積} = {△OBQの面積} = (r^2)sin(2x)/2となります。

PQの中点をTとすると、
∠AOP = ∠BOQの錯角ですから、∠OPT = ∠OQT = π-2xとなります。
すると、(PT) = (QT) = r*cos(π-2x) = -r*cos(2x)となり、
{△OPTの面積} = {△OQTの面積} = (-r*cos(2x))(r*sin(2x))/2 = -(r^2)cos(2x)sin(2x)/2です。

台形の面積をS(x)とすると、
S(x) = {△OAPの面積}+{△OBQの面積}+{△OPTの面積}+{△OQTの面積}
= 2(r^2)sin(2x)/2-2(r^2)cos(2x)sin(2x)/2
= (r^2)sin(2x){1-cos(2x)}

S'(x) = (r^2)*2cos(2x){1-cos(2x)}+(r^2)sin(2x)*2sin(2x)
= 2(r^2){cos(2x)-cos(2x)^2+sin(2x)^2}
= 2(r^2){1+cos(2x)-2cos(2x)^2}
= 2(r^2)(1-cos(2x))(1+2cos(2x))

ここで、図よりπ/4 < x = ∠PAB < π/2なので、π/2 < 2x < πです。
π/2 < 2x < πで、cos(2x) < 0なので、1-cos(2x) > 0です。

π/2 < 2x < 2π/3で、1+2cos(2x) > 0つまりS'(x) > 0なので、S(x)は増加。
2x = 2π/3で、1+2cos(2x) = 0つまりS'(x) = 0なので、S(x)は極大。
2π/3 < 2x < πで、1+2cos(2x) < 0つまりS'(x) < 0なので、S(x)は減少。

以上から、2x = 2π/3、つまりx = ∠PAB = π/3で台形の面積は最大になります。
No.43439 - 2017/05/28(Sun) 21:51:11
☆ Re: 図形 / らすかる
参考別解（幾何学的解法）※概略のみ

弧ABの三等分点のうちAに近い方をC,Bに近い方をDとする。
PQ≠CDのとき
△PAQ＜△CAQから台形PABQ＜四角形CABQ
△QCB＜△DCBから四角形CABQ＜台形CABD
よってPQがCDに一致しない場合は台形PABQ＜台形CABDなので
PQがCDに一致する場合が最大で、このとき∠PAB=π/3

# 「円に内接するn角形のうち面積最大のものは正n角形」
# も上記の手法を使って幾何学的に証明できます。
No.43444 - 2017/05/28(Sun) 23:26:46
☆ Re: 図形 / マヤ
丁寧にありがとうございます。
様々な解法が学べました。
本当にありがとうございました！
No.43454 - 2017/05/29(Mon) 18:23:55