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記事No.43566に関するスレッドです
★ 数列の和 / ふぁが
(X1+X2+・・・Xn)^3をΣで表すと、画像のようになります。この導出するまでの過程がわからないので、教えてください。

また、「Σ{i>j>k} Xi,Xj,Xk」が「nC3 Xi,Xj,Xk」で表せるのはなぜかも教えてください

どうぞよろしくお願い致します。
No.43566 - 2017/06/03(Sat) 11:05:06
☆ Re: 数列の和 / WIZ
多項定理ですね。n, mを自然数として、(X[1]+X[2]+・・・+X[n])^mを展開した一般項は
k[1], k[2], k[3], ・・・, k[n]は0以上m以下の整数でk[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[n] = mとするとき、
((m!)/{(k[1]!)(k[2]!)(k[3]!)・・・(k[n]!)})(X[1]^k[1])(X[2]^(k[2]))(X[3]^k[3])・・・(X[n]^k[n])
となります。

導出方法については本やネットで調べた方が分かり易いと思いますので、
私の下手な説明は割愛させて頂きます。

m = 3ですので、一般項の指数k[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[n] = mは、
(A) 3+0+0+・・・+0 = 3
(B) 2+1+0+0+・・・+0 = 3
(C) 1+1+1+0+0+・・・+0 = 3
のどれかのパターンしかありません。

(A)のパターンの係数は(3!)/{(3!)(0!)(0!)・・・(0!)} = 1なので、1*(X[i]^3)という項です。
(B)のパターンの係数は(3!)/{(2!)(1!)(0!)・・・(0!)} = 3なので、3*(X[i]^2)X[j]という項です。
(C)のパターンの係数は(3!)/{(1!)(1!)(1!)(0!)・・・(0!)} = 6なので、6X[i]X[j]X[k]という項です。

> また、「Σ{i>j>k} Xi,Xj,Xk」が「nC3 Xi,Xj,Xk」で表せるのはなぜかも教えてください

nの値によって、たまたまnC3 = 6となる場合(n = 4)を除いて、一般には上記は成立しません。
No.43569 - 2017/06/03(Sat) 13:42:02
☆ Re: 数列の和 / ふぉが
WIZさん

ありがとうございます
No.43581 - 2017/06/03(Sat) 19:55:15