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記事No.43576に関するスレッドです
★ 図形 / たゆたう
角B=2角Cである三角形ABCがある。角Aの二等分線とBCの交点をDとし,AB=4,BD=3であるときACとCDの長さを求めよ。という問題ですが解き方を教えてください。
No.43576 - 2017/06/03(Sat) 18:02:26
☆ Re: 図形 / X
3元の連立方程式を使ってもよいという前提であれば
以下のようになります。

∠Bの二等分線と辺CAとの交点をEとし
AC=x,CD=y,AE=z
と置きます。
このとき、まず∠Aの二等分線ADに注目して
辺の比から
4:x=3:y (A)
次に∠Bの二等分線BEに注目して
辺の比から
3+y:4=(x-z):z (B)
更にこのとき条件から
△ABE∽△ABC
となっていることから、
対応する辺の比により
4:z=x:4 (C)
(A)(B)(C)を整理すると
3x=4y (A)'
z(3+y)=4(x-z) (B)'
zx=16 (C)'
(A)'(B)'(C)'をx,y,zについての
連立方程式として解きます。
(A)'より
y=3x/4 (A)"
(C)'より
z=16/x (B)"
(A)"(B)"を(B)'に代入して
(16/x)(3+3x/4)=4(x-16/x)
これより
(4/x)(3+3x/4)=x-16/x
(1/x)(12+3x)=x-16/x
12+3x=x^2-16
x^2-3x-28=0
(x-7)(x+4)=0
x＞0により
x=7
これを(A)"に代入して
y=21/4

以上から
AC=7,CD=21/4
となります。
No.43579 - 2017/06/03(Sat) 18:39:59
☆ Re: 図形 / らすかる
別解
AC上にAE=4となるように点Eをとると
△ABD≡△AEDなのでED=BD,∠AED=∠ABD=2∠C
よって∠EDC=∠AED-∠C=∠Cなので△EDCはED=ECの二等辺三角形
従ってEC=ED=BD=3なのでAC=AE+EC=4+3=7
またAB：BD=AC：CDからDC=(3/4)AC=21/4
No.43584 - 2017/06/03(Sat) 21:59:40
☆ Re: 図形 / たゆたう
わかりました。お二方ありがとうございました。
No.43585 - 2017/06/03(Sat) 22:32:22