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記事No.43684に関するスレッドです
★ (No Subject) / 飛鳥
この証明をお願いします。
No.43684 - 2017/06/06(Tue) 20:30:08
☆ Re: / みずき
f(x)=x^3+ax^2+bx+c とおくと f'(x)=3x^2+2ax+b
(判別式)=4a^2-12b＞0⇒f'(x)=0は2つの実数解をもつ。
2解をp,q(p＜q)とするとpq=b/3＜0だからp＜0＜q
f(0)=c＜0なので（増減表を書いてグラフの概形を描いて）
f(x)=0はただ1つの正の解をもつことが分かる。
また、α+β+γ=-a＞0⇒-α＜β+γ
さらに、f(-a)=-ab+c＜0だから0＜-a＜α⇒β+γ＜0

逆が成り立たないことは、例えば
f(x)=x^3-x^2-100=(x-5)(x+2+4i)(x+2-4i)
から分かります。
No.43699 - 2017/06/07(Wed) 00:28:32