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記事No.43743に関するスレッドです
★ 平均値の定理 / がん
この問題の（２）を教えてください。
漸化式と方程式の辺々引いて右辺に平均値の定理を使って解くことはわかったのですがその後の式展開等がわかりません。違う解法でも構いませんので教えてください。
よろしくお願いします。
No.43743 - 2017/06/07(Wed) 20:08:27
☆ Re: 平均値の定理 / WIZ
f(x) = x-(1/2)sin(x)-1, f'(x) = 1-(1/2)sin(x) > 0なので、f(x)は単調増加です。
f(0) = -1 < 0, f(π/2) = π/2-3/2 > 0ですから、
実数αに対してf(α) = 0ならば、0 < α < π/2です。

> 漸化式と方程式の辺々引いて右辺に平均値の定理を使って解くことはわかったのですが

ならば、
a[n+1] = (1/2)sin(a[n])-1・・・・・(1)
α = (1/2)sin(α)-1・・・・・(2)
の各辺の差をとると、
a[n+1]-α = {(1/2)sin(a[n])-1}-{(1/2)sin(α)-1} = (1/2){sin(a[n])-sin(α)}・・・・・(3)
となります。

平均値の定理より、
sin(a[n])-sin(α) = cos(c){a[n]-α}・・・・・(4)
となる実数cがa[n]とαの間の値が存在します。
# a[n]とαの大小関係は分かりませんので、間と表現しています。

(3)(4)より、
a[n+1]-α = (1/2)cos(c){a[n]-α}
⇒ |a[n+1]-α| ≦ (1/2)|a[n]-α|
⇒ 0 ≦ |a[n]-α| ≦ ((1/2)^(n-1))|a[1]-α| = ((1/2)^(n-1))|a-α|
です。

n→∞のとき、((1/2)^(n-1))|a-α| → 0ですから、|a[n]-α| → 0と言えて、
よって、a[n] → αと言えます。
No.43745 - 2017/06/07(Wed) 21:07:31
☆ Re: 平均値の定理 / がん
WIZさん回答ありがとうございます。回答を見ながらもう一度トライします！
ありがとうございました！
No.43751 - 2017/06/07(Wed) 21:29:32