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記事No.43798に関するスレッドです
★ 定積分 / ぺんぎん
この問題の解き方と答えを教えてください。

次の和を定積分を用いて表し、極限を求めよ。
lim[n→∞] n{1/n^2+1/(n+1)^2+(1/n+2)^2+・・・+1/(2n-1)^2}
No.43798 - 2017/06/10(Sat) 09:53:50
☆ Re: 定積分 / WIZ
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
また、「n{1/n^2+1/(n+1)^2+(1/n+2)^2+・・・+1/(2n-1)^2}」は
「n{1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+・・・+1/(2n-1)^2}」の書き間違いと解釈して回答します。

n{1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+・・・+1/(2n-1)^2}
= {(n/n)^2+(n/(n+1))^2+(n/(n+2))^2+・・・+(n/(2n-1))^2}(1/n)
= {1/(1+0/n)^2+1/(1+1/n)^2+1/(1+2/n)^2+・・・+1/(1+(n-1)/n)^2}(1/n)

よって、
lim[n→∞](n{1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+・・・+1/(2n-1)^2}
= ∫[0, 1]{1/(1+x)^2}dx
= [-1/(1+x)]_[0, 1]
= (-1/2)-(-1)
= 1/2
No.43799 - 2017/06/10(Sat) 12:18:52