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記事No.43812に関するスレッドです
★ この行列の問題の解答がほしい / イオリア
下の写真の4番の解答がないので教えて下さい！
最初は数学的帰納法で、その次はP^-1APの逆行列を利用するのではないかと思ってはいます。
No.43812 - 2017/06/11(Sun) 11:22:15
☆ Re: この行列の問題の解答がほしい / X
前半)
方針に問題はありません。
B[m]={{P^(-1)}AP}^m
と置いて
B[m]={P^(-1)}(A^m)P
を示します。
(i)m=1のとき
成立は明らか。
(ii)m=kのとき、命題の成立を仮定します。
つまり
B[k]={P^(-1)}(A^k)P
このとき
B[k+1]={{P^(-1)}AP}^(k+1)
=B[k]{{P^(-1)}AP}
={P^(-1)}(A^k)P{{P^(-1)}AP}
={P^(-1)}(A^k){PP^(-1)}AP
={P^(-1)}(A^k)AP
={P^(-1)}{A^(k+1)}P
∴命題はm=k+1のときも成立。

後半)
逆行列の定義を満たしているか
確かめます。

{{P^(-1)}AP}{{P^(-1)}{A^(-1)}P^(-1)}={P^(-1)}A{P{P^(-1)}{A^(-1)}P^(-1)
={P^(-1)}A{A^(-1)}P^(-1)
={P^(-1)}P^(-1)
=E (A)
(Eは単位行列。以下同じ)
同様にして
{{P^(-1)}{A^(-1)}P^(-1)}{{P^(-1)}AP}=E (B)
(A)(B)より逆行列の定義から、命題は成立します。
No.43813 - 2017/06/11(Sun) 11:52:04
☆ Re: この行列の問題の解答がほしい / イオリア
自分の解答と一致していたので安心しました！
迅速な対応ありがとうございました❗
No.43814 - 2017/06/11(Sun) 13:21:17