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記事No.43817に関するスレッドです
★ 関数の極限 / a
６の問題のa,bの値がよく分かりません。よろしくお願いいたします。
No.43817 - 2017/06/11(Sun) 13:41:03
☆ Re: 関数の極限 / X
xがπの奇数倍、偶数倍の値のときの連続性から
a,bの方程式を立てます。

条件からnを整数として
(i)(2n-1)π＜x＜2nπのとき
f(x)=acosx+b
(ii)2nπ＜x＜(2n+1)πのとき
f(x)=lim[n→∞]{{1/(1+sinx)+(acosx+b)/(1+sinx)^n}/{1+1/(1+sinx)^n}}
=1/(1+sinx)
又
f(2nπ)=(1/2)(a+b+1) (A)
f((2n-1)π)=(1/2)(-a+b+1) (B)

(i)より
lim[x→2nπ-0]f(x)=a+b (A)'
lim[x→(2n-1)π+0]f(x)=-a+b (B)'
(ii)より
lim[x→2nπ+0]f(x)=1 (A)"
lim[x→(2n-1)π-0]f(x)=1 (B)"
よってf(x)が連続であるためには
(A)(A)'(A)"より
(1/2)(a+b+1)=a+b=1
整理して
a+b=1 (C)
(B)(B)'(B)"より
(1/2)(-a+b+1)=-a+b=1
整理して
-a+b=1 (D)
(C)(D)を連立で解き
(a,b)=(0,1)
No.43820 - 2017/06/11(Sun) 14:38:33