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記事No.4390に関するスレッドです

二次関数 / 高校一年・
 よく使わせてもらっています!
 毎回とても詳しくて分かりやすく教えていただけるので
 とても助かっています。
 今回もよろしくお願いします。

 関数の問題で・・・
 y=x^2-4x+mについて、0大なりイコールx大なりイコール5
 の範囲でyの範囲が常に負となるように、定数mの範囲を
 求めよ。という問題を解きたいのですが解き方が分かりま
 せん。どうやって解けばいいのでしょうか?教えてくだ
 さい!!ちなみに答えはm<-5です。

 私はDと軸とy切片について定義して解くと思ったんですが
 それだとm<4になってしまいました。

No.4375 - 2008/12/31(Wed) 00:42:36

Re: 二次関数 / rtz
以下誘導です。


y=x2−4x+mを平方完成すると、y=(x−?)2+m−?となる。
2次の係数が正であるから、この2次関数は下に凸であり、
よって軸x=?である点(即ち頂点)で最小となる。

2次関数のグラフは、軸を挟んで線対称であるから、
この2次関数において、0≦x≦5で最大となるのはx=?のときである。
よって、0≦x≦5で常に負ということは、
先ほどの、最大となるx=?でも負であれば、他の場所でも必ず負になる。
このとき、y=m+?であるから、求める条件はm+?<0より
m<?

No.4384 - 2008/12/31(Wed) 02:04:46

Re: 二次関数 / 高校一年・
回答していただいてありがとうございます。
質問なのですが・・・

0≦x≦5だから代入して
y=m.y=m+5で常に負となる用にm<0.m+5<0でm<-5
になるんですか?
でももしm+5<軸の値
であるときの場合は考えなくて良いんでしょうか?
もう一度はじめから出来れば具体的に詳しく教えて下さい。

No.4385 - 2008/12/31(Wed) 10:24:05

Re: 二次関数 / angel
とりあえず、グラフを描きましょう。
m の値が分からないので、x軸に対する位置関係がハッキリしないにしても、放物線の形は決まっていますから。

No.4390 - 2008/12/31(Wed) 12:59:42

Re: 二次関数 / rtz
質問の意味(代入して、は何を代入したのか不明)がよく分かりませんが、

この2次関数のグラフは、x=2が軸で、下に凸ですから以下のようになります。
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=628
(ただしm=1の場合)

mが変わっても、y=(x2−4x)+mですから、
上下に移動するだけで、形は変わりません。
ですから、軸x=2で "必ず" 最小になりますし、
0≦x≦5においては、先の誘導の通りx=5で "必ず" 最大になります。

ですから、
x=0におけるyの値を考えることは、本問においては全く必要ありません。
x=0で負であっても、x=5で負でなければ問題の条件は満たしませんね。

また下に凸なので軸では必ず最小になりますから、
軸での値を考えることも必要ありません。

この手の問題では、慣れない内は必ずグラフを描いて考えましょう。
慣れてきたら頭の中でグラフを想像して考えられるようにするとよいでしょう。

No.4391 - 2008/12/31(Wed) 13:00:19