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記事No.44062に関するスレッドです
★ 図形 / ICE
以下の問いの解法を教えてください。

問.一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。この四面体の表面のうち、ABを直径とする球の内部にある部分の面積を求めよ。

よろしくお願いします！
No.44058 - 2017/06/19(Mon) 19:34:32
☆ Re: 図形 / angel
立体の問題ですが、立体を完全に頭の中にイメージしきるのはそれなりに辛いので、なんとか平面図形の問題に落とし込むのが大事です。

さて、今回は「表面のうち…の面積を求めよ」です。なので、舞台はあくまで正四面体の各表面の正三角形。
では、球と各表面 ( 平面 ) との交わりたる円がどうなっているか、ここを考えます。

まず△ABCです。これは球の直径ABを含んでおり、そういう意味では△ABDも同条件です。
で、球と平面ABCの交わりは ( 直径を含むため ) 大円となっており、添付の図左のようになります。なので、球の内側は緑色に塗った部分 ( 正三角形×2 ) と赤色に塗った部分 ( 扇形 ) です。

続いて△ACDです。これも△BCDと条件は同じです。
球と平面ACDの交わりの円の中心は、球の中心から平面ACDにおろした垂線の足です。
ここで、
　・Bからおろした垂線の足は、△ACDの重心G
　・球の中心はABの中点
ということから、この交わりの円の中心はAGの中点です。( 添付の図右のM )
ということは、球の内側に来る部分は、緑に塗った二等辺三角形2個分 ( これは正三角形を半分に割って横長に繋ぎ変えた形です )、それから赤く塗った扇形です。

なお、AMの長さが問題になりますが、AM=1/3・AH ( Gが重心でAG=2/3・AHで、更にその半分 ) ということから、AM=√3/3 です。
No.44062 - 2017/06/19(Mon) 20:53:46
☆ Re: 図形 / ICE
ありがとうございました。
No.44121 - 2017/06/21(Wed) 23:25:08