放物線C:y=x^2と直線l:y=mx+n(m>0,n>0)の交点をA,Bとする。C上にA,B以外の点Pを角APB=90°を満たすようにとる。点Pが存在する範囲内でlを自由に動かすとき、線分ABの中点が存在しうる領域を図示せよ。
この問題が分かりません。どなたか教えてください！
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No.44077 - 2017/06/20(Tue) 18:51:11
| ☆ 除外点 / angel | | | > 除外点(1/2,5/4)の座標はどのようにして求めるのですか？
この除外点は図にもある通り、m=1,n=3/4 に対応するものです。
で、まず先に。
今回、中点の座標(X,Y)とm,nには、
X=m/2, Y=(1/2)m^2+n
逆に言えば
m=2X, n=Y-2X^2
の関係があり、(X,Y)と(m,n)が1対1に対応します。
なので、m=1,n=3/4 が除外されると、自動的に(X,Y)=(1/2,5/4) も除外されます。
※他のm,nの組で(X,Y)=(1/2,5/4) を作ることができない
というところで本題です。
そもそもの条件としては、点Pのx座標をt(t≠α,β)として
(α-t)(β-t){1+(α+t)(β+t)}=0
が成立すること。
言い換えると、このtの4次方程式が、α,β以外の実数解を持つことでした。
α+β=m, αβ=-n を利用すると、この4次方程式は
(t-α)(t-β)(t^2+mt-n+1)=0
です。なので、t^2+mt-n+1=0 という2次方程式が実数解を持つこと ( 判別式が0以上 ) が必要…なのですが、それだけでは十分ではありません。
なぜならば、t^2+mt-n+1=0 が「実数解を持つが、それがαとβ」或いは「実数解を持つが、それがαかβの重解」では不適だからです。
で、今回除外される m=1,n=3/4 は後者に相当します。
※前者は t^2+mt-n+1=0 が α,βを解に持つ方程式 t^2-mt-n=0 と 一致しないため、起こり得ません。
求め方としては、
・t^2+mt-n+1=0 が重解を持つ
… 判別式が0 つまり m^2+4(n-1)=0
・t^2+mt-n+1=0 が重解の場合の解 t=-m/2 が αまたはβに等しい、つまり、t^2-mt-n=0 の解となる
… (-m/2)^2-m(-m/2)-n=0
これを m＞0,n＞0 の条件の元で解きます。
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No.44122 - 2017/06/22(Thu) 00:41:13 |
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