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記事No.44176に関するスレッドです
★ 一次不等式について / ブラッドマミ
お世話になります。ブラッドマミと申します。この問題は中学生レベルですが引っかかってしまいました。
問）-1/a<1を解け。解答はa<-1なのですが、我流でやると、
解）両辺にaを掛けて-1<aとなり、解答と一致しません。
どこが間違っているか指摘できる方、ご説明よろしくおねがいします。レベルが低すぎてすみません。
No.44173 - 2017/06/24(Sat) 10:27:42
☆ Re: 一次不等式について / らすかる
a＜-1 も -1＜a も誤りです。

両辺に正の数を掛けると不等号の向きはそのままですが、
負の数を掛けると不等号の向きが逆になります。
（44147で書いたのも同じ内容です。）

よって-1/a＜1は
a＞0のとき 両辺にaを掛けて-1＜a
a＞0と合わせて 0＜a
a＜0のとき 両辺にaを掛けて-1＞a
a＜0と合わせて a＜-1
従って正解は a＜-1,0＜a
となります。

常套手段として、場合分けせずに済むように
分母の二乗を掛けるという手があります。
（ただし、「一次不等式」ではなくなります。）
こうすれば常に正なので不等号の向きは変わりません。
この問題の場合は、両辺にa^2を掛けます。
-1/a＜1 の両辺にa^2を掛けて -a＜a^2
移項して a^2+a＞0
a(a+1)＞0
∴a＜-1,0＜a
No.44174 - 2017/06/24(Sat) 10:57:57
☆ Re: 一次不等式について / ブラッドマミ
回答ありがとうございます。明確な説明を頂き不明瞭な考え方もまとまりました。aが正、負によっても不等号の向きも変わってくるので、結構ナイーブな問題だなと思いました。参考させて頂きます。
No.44175 - 2017/06/24(Sat) 11:19:15
☆ Re: 一次不等式について / angel
前のご質問の時にも触れましたが、「分母を払わない」( 分数のまま処理する ) というのは、こういう場面でも効きます。

　-1/a＜1 ⇔ 0＜1+1/a ⇔ 0＜(a+1)/a

と変形してしまえば、後は分母・分子の正負だけを整理するお話になりますから。
( 毎回わざわざ書く必要はないですが ) 添付の図のような表で整理する、というのは良くあります。
No.44176 - 2017/06/24(Sat) 13:57:47