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記事No.44258に関するスレッドです
★ (No Subject) / らき☆すた
(1)赤玉2個、青玉2個、白玉4個の計8個の玉を円状に並べる。回転して同じ配置になるものは同一の並べ方と見做すとき、異なる並べ方は何通りあるか。

(2)白玉1個、赤玉2個、青玉4個、黄玉6個がある。これを糸で繋いで隙間のないネックレスをつくるとき、ネックレスの種類の総数を求めよ。ただし、回転または裏返しにより一致するものは同種と見做すものとする。

解説をお願いします。
No.44255 - 2017/06/29(Thu) 00:34:15
☆ (1) / angel
(1)
「回転して同じ配置になるものは…」とありますから、それであれば、最初から回転する余地のないように配置していくことを考えます。

つまり、一番少ない赤 ( 青でも良い ) に着目して、
・赤は一番上および向かって右側にしか配置しない
とするのです。
これで、少しでも回転させたら必ず異なる並べ方になります。

まず、赤の配置の方法としては、隣接、1個置き、2個置きの3通りがあり、それぞれ残り6個の並べ方の問題です。
これが、3×6C2=45通り

ただし、赤が真上・真下に来る場合は別です。これは180°回転させてもやはり赤が真上・真下になるからです。

例えば
　赤青青白赤白白白
　赤白白白赤青青白
これは、180°回転してお互い行ったり来たりします。この分は半分に減らす必要があります。

ただし、180°回転させても同じ形に戻るものは例外です。
　赤青白白赤青白白
なんかがそうで、3通りあります。

なので、半分に減らすのは 6C2-3 の部分。

結局全部で、45+(6C2-3)/2+3=54通り
※45+(6C2+3)/2 としても良い
No.44258 - 2017/06/29(Thu) 01:58:23
☆ (2) / angel
(2)
(1)と同様に、回転させる余地がないように。今度は1つしかない白を1番上で固定します。すると、残り12個の配置を考えるだけで済みます。

ところが、今回は「裏返しにより一致するものは…」とありますから、ほぼ全体を半分にカウントする必要があります。

ただし、というのも(1)と同じで、裏返して同じ形になるもの、これは除きます。
結局、

　( (白以外の12個の単純な配置全体) + (裏返して同じになる組み合わせ数) )÷2

を計算することになります。
※(1)の (6C2+3)/2 の部分と対比してください。

で、前者は12か所中、同じ色の2か所、4か所を順次選んで行く組み合わせになるので、
　12C2×10C4

後者は、右半分の6か所から同じ色の1か所、2か所を順次選んで行く組み合わせになるので、
　6C1×5C2

結局答えは、
　(12C2×10C4 + 6C1×5C2)/2 = 6960通り
No.44259 - 2017/06/29(Thu) 02:11:43