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記事No.44280に関するスレッドです
★ フーリエ級数(大学2年) / ぽよ
4番の微分方程式の特殊解がどうしても求められません。
No.44280 - 2017/06/30(Fri) 14:34:14
☆ Re: フーリエ級数(大学2年) / ググ
-sin(x)/6 です
No.44281 - 2017/06/30(Fri) 15:04:26
☆ Re: フーリエ級数(大学2年) / ググ
見てなんとなく-sin(x)/6を考えましたが、真面目に解くなら以下のようになります

微分演算子d/dxをDと略記することにして
(D+3)(D-2)y = sin(x)
両辺にexp(3x)を（左から）掛けて
exp(3x)(D+3)(D-2)y = exp(3x)sin(x)
exp(ax)(D+a)という演算子はDexp(ax)という、「exp(ax)を掛けてから微分Dする」という演算子に置き換えられる事実（単に積の微分公式）を使って
D{exp(3x)(D-2)y} = exp(3x)sin(x)
両辺に左からDの逆演算しを掛けて、つまり不定積分して
exp(3x)(D-2)y = ∫exp(3x')sin(x')dx'
両辺にexp(-2x)exp(3x)を左から掛けて
exp(-2x)(D-2)y = exp(x)∫exp(3x')sin(x')dx'
左辺を先と同じように変形
D(exp(-2x)y) = exp(x)∫exp(3x')sin(x')dx'
左からDの逆演算しを掛けて
exp(-2x)y = ∫exp(x''){∫exp(3x')sin(x')dx'}dx''
両辺に左からexp(2x)を掛けて
y = exp(2x)∫exp(x''){∫exp(3x')sin(x')dx'}dx''
です。

右辺の積分はめんどくささはありますがやることは高校レベルです。sinをexpで書き直せばもっと簡単にできるハズ
No.44282 - 2017/06/30(Fri) 15:17:45