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記事No.44398に関するスレッドです
★ (No Subject) / ゆうたろう
数列の問題です。
(1)、(2)はこれで合ってますか？
(3)は自信ありません。
No.44367 - 2017/07/04(Tue) 18:52:56
☆ Re: / angel
先ほどと同じ問題でしょうか? であれば、既存のトピックに返信してつなげてほしいです。( 連続性が途切れるので )

さて、(1),(2)合っているようですが、(2)で聞かれてる「nの値」が抜けています。

(3)は間違いです。
計算過程はともかく、今回は答えを先に出せるはずです。それを利用すれば、自分が間違えていないかチェックできます。

さて「Snの最小値」とあるわけですが、これはanの初項からの和なので、
　-2k + -2(k-1) + … + -6 + -4 + …
と、負の項を足し続ける限り減っていくわけです。
じゃあ最小は? というと、足す項が0以上に転じる直前あたり。
なので、-2( k + (k-1) + … + 2 + 1 ) と同じ値になるはずなのです。
No.44370 - 2017/07/04(Tue) 19:11:06
☆ Re: / ゆうたろう
途中ですが、
このようにするのでしょうか？
すみませんが、(3)をもう少し解説お願いします。
No.44375 - 2017/07/04(Tue) 22:40:50
☆ Re: / angel
あ…。そっち路線で解答書きますか? ただ、( 答えを出す意味では簡単でも ) 書くの難しいと思います。
なので、解答書く用と、答え合わせ用と使い分けられるといいのですが。

まず、書くのが簡単な方です。これは(1)(2)の路線の継承で、つまり出題者の想定解になるものです。

初項-2k → 第n項 2(n-k-1) → Sn=1/2・n( -2k + 2(n-k-1) )
つまり、Sn=n^2-(2k+1)n で、n=k,k+1 で最小、最小値 -k(k+1)

次、答えだけだすなら…版。

ざっくり言うと、負である第k項まではSnは減少し続けるし、それ以降は増加に転じるから、最小はSk,S[k+1] だよね、という話。
つまり、S1＞S2＞…＞Sk=S[k+1]＜S[k+2]＜…
で、最小値は Sk=-2k + -2(k-1) + … + -4 + -2 = -2(1+2+…+k)=-k(k+1)

解答として書くなら、

an=2(n-k-1) となるため、n＞k+1 で an＞0, n=k+1でan=0, n＜k+1でan＜0
そのため、n≧2 において Sn=S[n-1]+an に対し
n＞k+1 で Sn＞S[n-1], S[k+1]=Sk, n＜k+1でSn＜S[n-1]
よって Sk,S[k+1]がともに最小

…後の計算は上で書いた通りなので割愛します。
No.44390 - 2017/07/05(Wed) 13:12:14
☆ Re: / ゆうたろう
これがなぜn＝k,k＋1で最小になるのでしょうか？
No.44398 - 2017/07/05(Wed) 18:02:50
☆ Re: / ゆうたろう
平方完成をすると
こうなるのではないでしょうか？
No.44400 - 2017/07/05(Wed) 18:24:47
☆ Re: / angel
平方完成自体は間違ってないですよ。でも最小値は間違いです。
(2k+1)/2 = k+0.5 と変形すればどうでしょうか。
kに、敢えて「自然数」という条件がついているのは、実は物凄く大きいんですよ。強く心に留めておくべきところ。
※そして、nが自然数という暗黙の前提も
No.44401 - 2017/07/05(Wed) 18:50:39
☆ Re: / angel
あと、(2)って、(3)での k を k=6 と特定の値に固定した状況なのですが。
(2)の答えは、「n=6,7でSn最小」ですよね。
「n=(2k+1)/2で最小」としてしまうと不整合になるわけで…。
もちろん、増減に着目した別解とも。

そういったところを常にチェックするようにした方がいいかな、と思います。多分そうすれば、どこがおかしいかも自力で解決できるようになってきます。
No.44402 - 2017/07/05(Wed) 18:57:45
☆ Re: / ゆうたろう
なるほど、分かりました。
ありがとうございます。
No.44410 - 2017/07/05(Wed) 22:07:46