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記事No.44413に関するスレッドです
★ 整数 / 名無し
70の解き方教えてください
解答）nは10個、nの最大値は89
よろしくお願いします
No.44413 - 2017/07/05(Wed) 23:48:47
☆ Re: 整数 / 名無し
これが解説ですが読んでも分からないです…。
n^2を5でわると1余るというのが、n^2=(4a+1)^2になるところからわかりません
No.44414 - 2017/07/05(Wed) 23:50:48
☆ Re: 整数 / 名無し
すみません、画像つけ忘れました
これが解答です、よろしくお願いします
No.44415 - 2017/07/05(Wed) 23:51:52
☆ Re: 整数 / らすかる
n^2を5でわると1余るからn^2=(4a+1)^2になるのではありません。

・nを4で割ると1余る→n=4a+1と書ける
・n=4a+1ならば当然n^2=(4a+1)^2
・(4a+1)^2=5(3a^2+a)+a^2+3a+1であり、n^2は5で割ると1余るから、a^2+3aは5の倍数
ということです。
No.44416 - 2017/07/05(Wed) 23:57:25
☆ Re: 整数 / angel
えっと、先に力技から。

最悪、綺麗に計算なんてできなくて良いんです。全部列挙しちゃえばいいんです。
ただ、流石に100個は試せないからある程度はパターンで見ましょう、というところさせ意識すれば。

問題としては「4で割ると」「5で割ると」の2種類の条件なので、4,5の最小公倍数20から「20で割った余りがどうか?」を見れば十分です。

例えば 9 は、9÷4=2...1, 9^2÷5=16...1 で条件を満たします。
すると、9 に20を ( 何個でもいいから ) 足した数も条件を満たすのです。
実際、
　9+20k = 4・5k+9 → 4で割ると1余る
　(9+20k)^2 = 400k^2+40k・9+9^2 = 5・80k^2+5・8k・9+9^2 → 二乗を5で割ると1余る

なので、1〜20の範囲で調べてみて、条件を満たす数字を見つけたら、あとは20を足していくだけです。

で、1〜20の範囲では 1,9 が条件を満たすので、
全部で
　1,9,21,29,41,49,61,69,81,89
の10個ということです。
1〜100だと20個の周期がちょうど5周期とれるので、2×5=10個でも良いですね。
No.44417 - 2017/07/06(Thu) 00:02:21
☆ Re: 整数 / 名無し
angelさん、そういう解き方もあるんですね、ありがとうございます！

2枚目の画像なんですが、n^2=5(3a^2+a)+a^2+3a+1がa(a+3)となってるのはどうしてなのでしょうか？普通に分解すればa(3a+1)かなと思ったので…
No.44439 - 2017/07/06(Thu) 22:18:01
☆ Re: 整数 / らすかる
5の倍数かどうかが問題になるのは
カッコ内の3a^2+aではなく、カッコの後のa^2+3aの部分です。
a^2+3a=a(a+3)ですね。
No.44441 - 2017/07/06(Thu) 23:30:04