[
掲示板に戻る
]
記事No.44444に関するスレッドです
★
極限値
/ あん
引用
これの問題5(2)(4)
を教えていただけないでしょうか
No.44444 - 2017/07/07(Fri) 02:29:41
☆
Re: 極限値
/ あん
引用
失礼、問題3の(2)(4)です
No.44445 - 2017/07/07(Fri) 02:30:39
☆
Re: 極限値
/ X
引用
(2)
分母分子に√(1+x+x^2)+1をかけましょう。
(4)
ロピタルの定理を使います。
別解)
{1/(3x)}log(1+5x)=(1/3)log{(1+5x)^(1/x)}
と変形し公式(II)が使えるように適当な
置き換えをします。
No.44446 - 2017/07/07(Fri) 05:42:05
☆
Re: 極限値
/ あん
引用
(4)の別解の方はどのように置き換えればネイピア数まで持っていけますかね？
No.44447 - 2017/07/07(Fri) 10:20:28
☆
Re: 極限値
/ あん
引用
あと遅れて申し訳ありません
Xさんありがとうございます
No.44448 - 2017/07/07(Fri) 10:21:03
☆
Re: 極限値
/ X
引用
ごめんなさい。No.44446の(4)ですが誤りがありましたので
直接修正しました。再度ご覧下さい。
>>(4)の別解の方はどのように置き換えればネイピア数まで持っていけますかね？
実は公式(II)をこのまま置き換えで(4)に使う場合、
x→+0,x→-0で場合分けをして極限を計算し
両者が有限確定値であり、かつ等しくなることを
確かめる、といった方針となり、x→-0の場合の
計算が煩雑になります。
それよりは(II)から、補題として
lim[h→0](1+h)^(1/h)=e (A)
を証明した方が多少は楽ですので
まずは(A)を証明することを考えます。
(と言ってもh→+0,h→-0で場合分けが必要ですが)
(i)h→+0について。
1/h=xと置くと
lim[h→+0](1+h)^(1/h)=lim[x→∞](1+1/x)^x=e
(∵)(II)による。
(ii)h→-0について
lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[h→-0]{1/(1+h)}^(-1/h)
と変形して
1/(1+h)=1+1/x
と置くと
x=-1-1/h
となるので
lim[h→-0](1+h)^(1/h)=lim[x→∞](1+1/x)^(x+1)
=lim[x→∞](1+1/x)(1+1/x)^x
=e (∵)(II)による
以上(i)(ii)から(A)は成立しますので
lim[x→0]{1/(3x)}log(1+5x)=lim[x→0](1/3)log{(1+5x)^(1/x)}
=lim[x→0](5/3)log{(1+5x)^{1/(5x)}}
=(5/3)loge
=5/3
No.44454 - 2017/07/07(Fri) 20:07:16
☆
Re: 極限値
/ angel
引用
ちなみに(4)って、対数関数の微分そのものだったりします。
一般に f(x)=logx に対して f'(x)=1/x
特に f'(1)=1 ( lim[h→0] 1/h・(log(1+h)-log(1)) = 1 )
これを少しいじって
lim[x→0] 1/(3x)・( log(1+5x)-log(1) )
= 5/3・lim[h→0] 1/h・( log(1+h)-log(1) )
ということですね。
Xさんの説明と同じ話が対数関数の微分に出てきます
https://sci-pursuit.com/math/differential-logarithm.html
No.44463 - 2017/07/08(Sat) 10:56:16
