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記事No.44533に関するスレッドです
★ (No Subject) / 漢
画像の問題の意味がいまいちわかりません。これは、ただ単に、f(x)=g(p)とみて、g(p)<0、となるxの範囲を求めているだけに見えるのですが、下の「注」の欄を見ると、なんかそうでは無いような気がします。下の「注」を、利用した、もしくは意識しやすいような、別解を教えて頂けませんでしょうか？
No.44533 - 2017/07/10(Mon) 01:21:42
☆ Re: / らすかる
微分はご存知ですか？
No.44536 - 2017/07/10(Mon) 10:55:18
☆ Re: / 漢
まだやってません…
No.44540 - 2017/07/10(Mon) 13:14:41
☆ Re: / らすかる
(注のグラフ参照)

f(x)=0の解はx=p±√(2p^2-2p+1)
p+√(2p^2-2p+1)はpが大きくなると連続的にいくらでも大きくなり、
p-√(2p^2-2p+1)はpが小さくなると連続的にいくらでも小さくなるため、
p+√(2p^2-2p+1)の最小値と
p-√(2p^2-2p+1)の最大値を調べればよい。

p≧1のとき p+√(2p^2-2p+1)＞1
p＜1のとき
p^2≧0
p^2+(1-p)^2≧(1-p)^2
√(2p^2-2p+1)≧1-p
∴p+√(2p^2-2p+1)≧1　（等号はp=0のとき）

p＜0のとき p-√(2p^2-2p+1)＜0
p≧0のとき
0≦(p-1)^2
p^2≦p^2+(p-1)^2
p≦√(2p^2-2p+1)
∴p-√(2p^2-2p+1)≦0　（等号はp=1のとき）

従ってp+√(2p^2-2p+1)の最小値が1、p-√(2p^2-2p+1)の最大値が0なので
放物線が通過しない部分は0＜x＜1
No.44545 - 2017/07/10(Mon) 16:38:47
☆ Re: / 漢
ありがとうございます。考え方は理解できましたが、p+√(2p²-2p+1)の最小値、p-√(2p²-2p+1)の最大値を求める時の、途中式が全体的に意味がわかりません…どのような事を行って、最小値最大値を求めているのでしょう…
No.44555 - 2017/07/10(Mon) 21:27:44
☆ Re: / らすかる
p≧1のとき
√(2p^2-2p+1)＞0なので（∵2p^2-2p+1=2(p-1/2)^2+1/2＞0）
p+√(2p^2-2p+1)＞1

p＜1のとき
p^2≧0（実数の2乗は0以上）
p^2+(1-p)^2≧(1-p)^2（両辺に(1-p)^2を足した）
2p^2-2p+1≧(1-p)^2（左辺を展開した）
√(2p^2-2p+1)≧1-p（a^2≧b^2,a≧0,b≧0ならばa≧b）
∴p+√(2p^2-2p+1)≧1（両辺にpを足した）

p＜0のとき
-√(2p^2-2p+1)＜0なので
p-√(2p^2-2p+1)＜0

p≧0のとき
0≦(p-1)^2（実数の2乗は0以上）
p^2≦p^2+(p-1)^2（両辺にp^2を足した）
p^2≦2p^2-2p+1（右辺を展開した）
p≦√(2p^2-2p+1)（a^2≦b^2,a≧0,b≧0ならばa≦b）
∴p-√(2p^2-2p+1)≦0（両辺から√(2p^2-2p+1)を引いた）

# 途中式は、例えば前半なら
# p+√(2p^2-2p+1)≧1を示すためには√(2p^2-2p+1)≧1-pを示せばよい
# √(2p^2-2p+1)≧1-pを示すためには2p^2-2p+1≧(1-p)^2を示せばよい
# 2p^2-2p+1≧p^2-2p+1を示すためにはp^2≧0を使えばよい
# のように考えて逆順に書き直したものです。

# 今回は「最小値が1」ということがわかっていたため上記のように考えましたが、
# もしわかっていない場合は
# p+√(2p^2-2p+1)≧aを示す
# ⇔√(2p^2-2p+1)≧a-pを示す
# ⇔2p^2-2p+1≧(a-p)^2を示す（a-p≧0の場合のみ）
# ⇔2p^2-2p+1≧p^2-2ap+a^2を示す
# ⇔p^2-2(1-a)p+1-a^2≧0を示す
# ⇔{p-(1-a)}^2+2a(1-a)≧0を示す
# a-p≧0でこの式の等号が成り立つためにはa=1でなければならないので
# 最小値は1でp+√(2p^2-2p+1)≧1を示せばよいのだろう
# のように考えられます。
No.44556 - 2017/07/10(Mon) 22:25:44
☆ Re: / 漢
ありがとうございます！
No.44584 - 2017/07/11(Tue) 22:40:33