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記事No.44705に関するスレッドです
★ (No Subject) / CHAGE
この問題を教えてください。

問.実数aが0＜a＜1の範囲を動くとき、曲線y=x³-3a²x+a²の極大点・極小点の間にある部分(ただし、極大点・極小点は含まない)が通る範囲を図示せよ。
No.44692 - 2017/07/16(Sun) 23:59:55
☆ Re: / angel
y'=3x^2-3a^2=3x(x-a)(x+a) なので、極大・極小の間とは x^2＜a^2 です。
つまりこの問題は、

　0＜a＜1 で y=x^3-3a^2x+a^2 の x^2＜a^2 の区間の点の集合を求めよ

ということです。

ここで先に、x=1/3 の時は a に関わらず y=1/27 なのでこれは別に扱います。

で、話を戻して。このままでは扱い辛いのでこう替えます。

　-1＜x＜1 で、y-x^3=(1-3x)a^2 が x^2＜a^2＜1 なる解 a を持つ (x,y) の集合を求めよ

そうすると、x=1/3 はさっき別扱いにしましたので、
x＞1/3, x＜1/3 で状況が変わります。

x＞1/3 であれば y-x^3=(1-3x)a^2 の左右の符号を見て y-x^3＜0
で、さらに符号に注意して
　y-x^3＜(1-3x)x^2, y-x^3＞(1-3x)・1

逆に、x＜1/3 であれば y-x^3＞0, y-x^3＞(1-3x)x^2, y-x^3＜(1-3x)・1 です

…ということで、図示すると添付の図(右)のようになります。
左側は、a を小刻みに変化させた時の、「曲線の極大点・極小点の間にある部分」を描いたものです。
No.44705 - 2017/07/17(Mon) 02:40:35