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記事No.44724に関するスレッドです
★ 数三 関数の極限 / ねこ
解けないです
答えがありません
解き方を教えてください
No.44724 - 2017/07/18(Tue) 06:09:55
☆ Re: 数三 関数の極限 / angel
画像で問題を載せるのは良いのですが、どちらの方の問題ですか。それとも両方ですか。
どちらも件名にある「極限」の問題とは言い辛く、判断できないです。
No.44725 - 2017/07/18(Tue) 07:06:10
☆ Re: 数三 関数の極限 / ねこ
説明不足ですいません
72番です

この問題のタイトルみたいなのが関数の極限ってあって…
No.44726 - 2017/07/18(Tue) 07:16:34
☆ Re: 数三 関数の極限 / angel
(1)
「極大」とありますので、その x=π/4 での微分係数 f'(π/4)=0 です。
※一般には微分係数0だけでは不十分なのですが、(1)では、これだけで答えが1つに絞れる ( それに「解なし」は問題文的にありえない ) ので良いでしょう。(2)ではここもケアします

導関数 f'(x)=e^(-kx)・(cosx - ksinx) から f'(π/4)=0 を計算して解き、結果 k=1 です

(2)
(1)で k=1 と分かったので、まずは三角関数の合成でまとめておきます。
f'(x)=e^(-1)・(cosx-sinx)=√2・e^(-1)・sin(x+3π/4)

で、f'(x)=0 になるのは、sin の部分だけを見れば良くて、x の値π置きに発生するのですが、問われているのは「極大」、微分係数が、正から負へと転じるところです。
なので π/4, 9π/4, 17π/4,… と、2π置きになります。
一般項としては ( 等差数列ってことから整理して )
x[n]=(8n-7)π/4

(3)
x[n]は値が2π置きなので、sinの部分の値が一定になります。のこりは指数関数部分から来る等比数列です。
f(x[n])=f((8n-7)π/4)
=√2/2・e^(-(8n-7)π/4)
=√2/2・e^(-π/4 - 2π(n-1))
=√2/2・e^(-π/4)・( e^(-2π) )^(n-1)
※一般に指数の計算として、a^(pq)=(a^p)^q
※ ^n じゃなくて ^(n-1) の形に整理したのは、等比数列の和が計算しやすいから

ということで、(等比)数列の和として、
Σ[k=1,n] f(x[k])
= √2/2・e^(-π/4)・Σ[k=1,n]( e^(-2π) )^(k-1)
= √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )・( 1-(e^(-2π))^n )

これのn→∞での極限が答えです
公比の絶対値1未満だと最後の項が1になって ( 掛け算の結果的に ) 消えるので、
√2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) ) …なんですが、e^(2π) を分子・分母に掛けて整形しておきます
答え √2・e^(π/4)/2( e^(2π)-1 )
No.44731 - 2017/07/18(Tue) 11:29:39
☆ Re: 数三 関数の極限 / ねこ
ありがとうございます💦
No.44735 - 2017/07/18(Tue) 12:13:44
☆ Re: 数三 関数の極限 / angel
あっと。申し訳ないです。最後の整形が間違えてました。

✕: √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )=√2・e^(π/4)/2( e^(2π)-1 )
○: √2・e^(-π/4)/2( 1-e^(-2π) )=√2・e^(7π/4)/2( e^(2π)-1 )

このように読み替えてください。
No.44738 - 2017/07/18(Tue) 12:58:49