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記事No.44929に関するスレッドです
★ ヘロンの公式証明 / 愛
お恥ずかしい話授業に出席しておらず、友人が板書を写したノートをコピーしたものですが、添付した写真において私が指摘しました箇所(鉛筆書きで説明不足では？と書いた)を疑問に感じます。指摘部分の説明を加えたいのですが当該四角形が直径をCLとする円に内接することの証明が思いつきません。(そもそもLに対する定義もKに対する定義も与えられていないのは如何なものかと…せめてCL平行BOなどの条件があれば…というのが私の考えです)
写真のような文で証明は可能でしょうか？
また可能であれば指摘した帰結の説明がいただければ幸いです。

補足
写真はヘロンの公式の証明です。
余弦定理等の簡易な証明があるのは百も承知ですのであくまで写真の証明方法の大筋を使った証明方法を教えていただければ幸いです。
No.44884 - 2017/07/24(Mon) 21:25:31
☆ Re: ヘロンの公式証明 / angel
この線で証明はできるのですが、ちょっと流れが分かりにくいので整理してみましょう。

まず、添付の図のようにもろもろ定義します。

そうすると、左の図より

　a=y+z
　b=z+x
　c=x+y
　α+β+γ=180°

また、K,Lを真ん中の図のように決め、現れる長さを u,v としておきます

さてそうすると、その「決め」た時の直角2つが円周角として等しいため、□BLCIは円に内接、もっと言うとCLを直径とする円に内接、です。
そして、

　∠BLC=180°-∠BIC=180°-(β+γ)=α

と。ここまで分かります。
一旦ここで切ります
No.44928 - 2017/07/27(Thu) 23:38:19
☆ Re: ヘロンの公式証明 / angel
承前

そうすると、添付の図のように、3組の三角形の相似形が見つかります。長さの関係としては、

左： xu = r(y+z)
真中： v=ry/(r+u)
右：r^2=vz

ということで、
　rxyz = vxz(r+u)　　← 真ん中の関係式
　　= vz(xr+xu)
　　= r^2・(xr+xu)　　← 右の関係式
　　= r^2・(xr+r(y+z))　← 左の関係式
　　= r^3・(x+y+z)
つまり、xyz=r^2・(x+y+z)

で、最後の詰めです。
　s=(a+b+c)/2 と置く時、s=x+y+z
　三角形の面積 S は、S=1/2・r(a+b+c)=rs
　s(s-a)(s-b)(s-c)=(x+y+z)(x+y+z-(y+z))(x+y+z-(z+x))(x+y+z-(x+y))
　= xyz(x+y+z)
　= r^2・(x+y+z)^2
　= (rs)^2
　= S^2
よって、S=√( s(s-a)(s-b)(s-c) )
No.44929 - 2017/07/28(Fri) 00:03:56