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記事No.44963に関するスレッドです
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数列の収束・発散、有界の範囲です
/ ゆうちょ
引用
写真の問題解ける方は解答お願いします！
できるだけ丁寧な解答でお願いします！
No.44963 - 2017/07/30(Sun) 23:44:40
☆
Re: 数列の収束・発散、有界の範囲です
/ IT
引用
数列の収束条件 は、どういうのを習われましたか？
No.44966 - 2017/07/31(Mon) 00:50:04
☆
Re: 数列の収束・発散、有界の範囲です
/ UCLA生
引用
(1)
いま、bnを収束しないと仮定する
すると、bnは単調減少な数列なので
∀N ∃n ∀ k > n bk < N ...(★)
となる。
しかし、いま{an}は有界より
∃a ∀ n a < an
これは、(★)と矛盾する
したがって、bkは収束列である。
infについても同様なので。省略。
また、
bn >= cnが定義より常に成り立つので、
bn - cn >= 0
ここで、lim(bn - cn) = limbn - limcnであり
limbn = b limcn = c
と仮定して、b-c < 0とすると、あるε' > 0があり
b-c+ε' = 0
∀ε ∃ n ∀ k >= n |bn - cn - b + c| < εなので
ε < ε'としたときに、 bn - cn < b - c + ε < 0
となり矛盾するので
b - c > 0 よって、limbn => limcn
2
bn <= an <= cnであることは明らかである。
ここで、limbn = limcnのとき1より、
lim(bn - an) <= 0
lim(cn - an) >= 0で
しかも、limbn = limcnなので
これをaとおくと
a - liman <= 0
a - liman >= 0
よって、liman = aへと収束する。
3
いま、{an}は有界であるので、発散することない。
bn > an > cn
ここで、{an}が収束するならばlimcn = limbn
であることを示す。
liman = a
⇔∀ε ∃n ∀k >= n |an - a| < εである
このときのnに対して、∀k >= nについて |an-a| < ε
なので、|sup{ak | k >= n} - a| < ε
である。したがって、anが収束するとき
bnもaへ収束するおなじく、|inf{ak | k >= n} - a| < ε
より、cnもaへ収束する。
したがって、anが収束するならばbn, cnも同じ値へ収束する。
したがって、limbn > limcnであれば{an}は収束せず、しかも有界性より発散しないので振動する
No.44992 - 2017/08/02(Wed) 15:36:26
