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記事No.44975に関するスレッドです
★ シグマの計算 / てとらっと
画像中央K^3のシグマの計算の仕組みがわかりません。どのように式変形しているのかが不明です。シグマの計算の定義からこのようになっているのでしょうか？
No.44975 - 2017/08/01(Tue) 22:12:04
☆ Re: シグマの計算 / IT
?納k=2..n](k^3) の公式を求めているのだと思いますが、
k=2 からだと面白くないので,k=1 からにして考えます。

下記のような計算をしているのかなと思います。

S(n)=?納k=1..n](k^3) とする。

S(1)=1
S(n)-S(n-1)=n^3
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
(n+1)^2-n^2=2n+1
(n+1)-n=1
なので
S(n)=a(n+1)^4+b(n+1)^3+c(n+1)^2+d(n+1)+e とできるとして
a,b,c,d,e を順に決めていくと,a=1/4,b=-1/2,c=1/4,d=e=0 すなわち
S(n)=(1/4)(n+1)^4-(1/2)(n+1)^3+(1/4)(n+1)^2 となる。

というようなことではないでしょうか？

途中式が少なく、説明がまったくなくて、非常に不親切のような気がしますが、画像の左側に解説が隠れているのでしょうか？　出典は市販の問題集ですか？　
No.44976 - 2017/08/02(Wed) 00:16:08
☆ Re: シグマの計算 / てとらっと
画像の左側にも解説などはありません。出典は『応用代数学入門―暗号・符号・バーコードの仕組みが分かる』というものです。今更ですが、問題文には「電卓または数式処理システムを用いて計算しなさい」と書いていたので、それ故解説がないのだと思いました。やはり手計算でやるべきではなかったのでしょうか。ところで、返信内容にて「a,b,c,d,e を順に決めていくと」とありますが、どうして決めることができるのでしょうか？色々考えてみましたがよくわかりません。「S(n)=a(n+1)^4+b(n+1)^3+c(n+1)^2+d(n+1)+e」の式において、係数比較からa,b,c,d,eの値を導くことはできませんし… なんども申し訳ないですが、手計算で解く方法も理解しておきたいので、詳しく教えてもらいたいです。
No.45005 - 2017/08/02(Wed) 20:48:25
☆ Re: シグマの計算 / IT
>返信内容にて「a,b,c,d,e を順に決めていくと」とありますが、どうして決めることができるのでしょうか？

S(n)-S(n-1)=n^3=a((n+1)^4-n^4)+b((n+1)^3-n^3)+c((n+1)^2-n^2)+d((n+1)-n)
=a(4n^3+6n^2+4n+1)+b(3n^2+3n+1)+c(2n+1)+d
n^3の係数比較し a=1/4 などと決めていけると思います。

>手計算で解く方法
意味が良く分かりません、何を解くのですか？
No.45006 - 2017/08/02(Wed) 21:17:23
☆ Re: シグマの計算 / てとらっと
a,b,c,d,eの決め方も納得しました。
「解く」という言葉は、数学についての質問をしたので特に深く考えずそのような言葉を使ってしまいました。正しくは、どのような手順を踏めば数式処理システムなどを使わずに、解答のような式変形にたどり着くのかということが知りたかっただけです。
わかりやすく教えていただきありがとうございました。
No.45035 - 2017/08/03(Thu) 22:04:19
☆ Re: シグマの計算 / IT
出典『応用代数学入門―暗号・符号・バーコードの仕組みが分かる』なら、数学の基本的な公式や計算部分の説明は、詳しくなくてもおかしくないですね。
No.45041 - 2017/08/03(Thu) 22:55:50