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記事No.44977に関するスレッドです
★ 確率問題 / 高校3年生
（ 2 ）がわかりません、、
答えは ５／６４ になるはずです。
考え方も詳しく教えていただけると嬉しいです。
お願いします。
No.44977 - 2017/08/02(Wed) 01:09:03
☆ 地道な方法 / angel
高々8回なので、地道にパターンを挙げて行っても良いと思います。
※というより、この手の問題はそうやって地道に数えられる範囲に抑えてあることが多い

「続けて5回以上」だとあやふやなので、
・続けて丁度8回
・続けて丁度7回
・続けて丁度6回
・続けて丁度5回
に分けて数えます。表を○、裏を×、どちらでもいいのを？とすると、
・続けて丁度8回
　○○○○○○○○ … 確率 1/256
・続けて丁度7回
　○○○○○○○× … 確率 1/256
　×○○○○○○○ … 確率 1/256
・続けて丁度6回
　○○○○○○×？ … 確率 2/256
　×○○○○○○× … 確率 1/256
　？×○○○○○○ … 確率 2/256
・続けて丁度5回
　○○○○○×？？ … 確率 4/256
　×○○○○○×？ … 確率 2/256
　？×○○○○○× … 確率 2/256
　？？×○○○○○ … 確率 4/256

で、合計20/256=5/64 ということです。
No.44978 - 2017/08/02(Wed) 01:59:45
☆ 漸化式を立てるやり方 / angel
もう一つは、漸化式を立てるやり方、
つまりこれを数列 ( 回数によって変わる確率の列 ) と見て、その1つの項を計算する、その時に項同士の規則性に着目する、というやり方です。

「n回投げて表が5回以上続けて出る」確率を p(n) とすると、
まず明らかに
　p(0)=p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=0, p(5)=1/32
です。
※便宜上 p(0) というのも定義しておきます

さてでは n≧6 の場合ですが、

　p(n)=( 最初に5連続出る確率 )+( 2回目以降で5連続出る確率 )-( 最初に5連続出てかつ2回目以降でも5連続出ている確率 )

です。マイナスしているのは、前の2つの確率にあたる事象で重複している部分が余分になっているからです。

そうすると、
・最初に5連続出る確率
　→ 1/32
・2回目以降で5連続出る確率
　→ p(n-1)
・最初に5連続出てかつ2回目以降でも5連続出ている確率
　→ 最初に6連続、または、最初に5連続-裏-その後またどこかで5連続
　→ 1/64+1/64・p(n-6)

結局、
　p(n)=1/32+p(n-1)-(1/64+1/64・p(n-6))
　　=p(n-1)-1/64・p(n-6)+1/64
という漸化式が立ちました。

残念なことに、この漸化式から一般項を綺麗な形で求めることはできないのですが、既に分かっている p(0)〜p(5) を延長していく形で計算していけば、そのうちに今回の答え p(8) が分かるという寸法です。

　p(6)=p(5)-1/64・p(0)+1/64=3/64
　p(7)=p(6)-1/64・p(1)+1/64=4/64
　p(8)=p(7)-1/64・p(2)+1/64=5/64
No.44979 - 2017/08/02(Wed) 02:31:30
☆ Re: 確率問題 / らすかる
別解
1回目〜5回目が表になるのは2^3通り(6回目〜8回目の表裏)
「1回目が裏で2回目〜6回目が表」
「2回目が裏で3回目〜7回目が表」
「3回目が裏で4回目〜8回目が表」
はそれぞれ2^2通り(残り2回の表裏)なので、求める確率は
(2^3+2^2×3)/2^8=5/64
No.44980 - 2017/08/02(Wed) 06:53:12
☆ Re: 確率問題 / 高校3年生
わかりました！
地道に書いてくパターンでやってみます。
お二方ともいろんな解き方を教えてくださり、ありがとうございましたm(_ _)m
No.44983 - 2017/08/02(Wed) 10:59:27