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記事No.45034に関するスレッドです
★ (No Subject) / まさる
ガウスの発散定理をつかったら４πになったのですがどこが間違っていますか
No.45034 - 2017/08/03(Thu) 20:21:50
☆ Re: / X
↑F・↑n=xy^2+(2y^2)z+3z^2 (A)
のzに関する偶奇を考えていません。
(A)の
第二項はzに関して奇関数
第一項、第三項はzに関して偶関数
になっていますので
∬[S]↑F・↑ndS=2∬[S[1]](xy^2+3z^2)dS
となります。
No.45036 - 2017/08/03(Thu) 22:17:57
☆ Re: / まさる
それは必要ですか？
No.45037 - 2017/08/03(Thu) 22:22:02
☆ Re: / X
必要です。
私の書いたような処理をせずに
∬[S[1]]↑F・↑ndS
∬[S[2]]↑F・↑ndS
を計算するのであれば
∬[S[1]]↑F・↑ndS=∬[S[2]]↑F・↑ndS
とはなりません。

重積分ではありませんが
例えば
∫[-1→1]xdx
を計算する場合、xは奇関数ですので
∫[-1→1]xdx=0
となりますが、積分範囲がx=0に関して
対称だからと言って、
∫[-1→0]xdx=∫[0→1]xdx
とはなりませんよね？それと同じです。
No.45039 - 2017/08/03(Thu) 22:42:38
☆ Re: / X
もう少し別の角度で考えましょうか。
S[1]における面積分でD[1]へ射影した後に
z=√(1-x^2-y^2) (P)
としてzを消去しますよね？
S[2]における面積分でD[1]に射影する場合は
(P)の代わりに
z=-√(1-x^2-y^2)
を使う必要があります。
No.45040 - 2017/08/03(Thu) 22:48:54
☆ Re: / まさる
お手数ですが正しい解答がどういう式になるのか書いてもらえますか？
No.45044 - 2017/08/03(Thu) 23:24:40
☆ Re: / X
ではNo.45036の
∬[S]↑F・↑ndS=2∬[S[1]](xy^2+3z^2)dS (B)
の続きから。
(B)においてまさるさんの方針と同様に
S[1]をxy平面に関する正射影であるD[1]に
変換し、更に極座標に変換した後、
θについての積分を行うと、最終的に
∬[S]↑F・↑ndS=2・2π∫[0→1]{3r√(1-r^2)}dr
となります。
(まさるさんがNo.45034で添付した写真の
下から4行目の式と見比べてみて下さい。)
この積分を計算することにより
∬[S]↑F・↑ndS=4π
となります。
No.45056 - 2017/08/04(Fri) 12:20:33
☆ Re: / X
まさるさんのS[1]に関する面積分の結果の二倍が
求める面積分の値である、という考えが頭から
離れないようであれば、まさるさんのS[1]に関する
面積分の計算方針と同様な方針で
∬[S[2]](↑F・↑n)dS
を計算してみて下さい。
(但し、No.45040にも書きましたが
z＜0となることに注意しましょう。)
恐らく結果は
∬[S[2]](↑F・↑n)dS=3π/2
になると思います。
No.45057 - 2017/08/04(Fri) 12:25:12