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記事No.45108に関するスレッドです
★ 高３ 定積分 / あり
なぜかいとうが1/aになるのかがわかりません。

不定積分の関数型はexp(-ax)/-a になると考えていますが。。。
No.45108 - 2017/08/07(Mon) 19:07:27
☆ Re: 高３ 定積分 / angel
「定積分」とあって、確かに間違ってはいないのですが、これは定積分と極限の複合ですよ。

つまり、
　∫[0,+∞] e^(-ax) dx = lim[t→+∞]∫[0,t] e^(-ax) dx
ということです。

なので、定積分を求めて、それから極限を考えましょう。
「不定積分」はあっているので、そこからすすめて問題ないかと思います。

なお、a≦0 だと発散しますので注意が必要です。
No.45109 - 2017/08/07(Mon) 19:20:10
☆ Re: 高３ 定積分 / あり
> 「定積分」とあって、確かに間違ってはいないのですが、これは定積分と極限の複合ですよ。
>
ありがとうございます。
不定積分からの進め方に難渋しております


> つまり、
> 　∫[0,+∞] e^(-ax) dx = lim[t→+∞]∫[0,t] e^(-ax) dx
> ということです。
>
> なので、定積分を求めて、それから極限を考えましょう。
> 「不定積分」はあっているので、そこからすすめて問題ないかと思います。
>
> なお、a≦0 だと発散しますので注意が必要です。
No.45110 - 2017/08/07(Mon) 19:31:06
☆ Re: 高３ 定積分 / angel
> 不定積分からの進め方に難渋しております

なるほど。

この問題に限らず一般的な話として、不定積分 F(x)=∫f(x)dx が分かっているのであれば、定積分は

　∫[p,q]f(x)dx = F(q)-F(p)

という計算になります。

今回の場合は、
　F(x)=e^(-ax)・(-1/a)
　p=0, q=t
のケースにあてはまりますね。

一旦 t 混じりの式として定積分が求まります。その後 t→+∞の極限です。
No.45113 - 2017/08/07(Mon) 19:49:48
☆ Re: 高３ 定積分 / あり
ありがとうございます
はい.qに無限を代入してそこからpにゼロを代入したものを引けば良いのはわかっているのですが無限をいれるとどういう値になるのかがわからなくて困っています
No.45114 - 2017/08/07(Mon) 20:34:25
☆ Re: 高３ 定積分 / angel
> 無限をいれるとどういう値になるのか
そこが極限ですね。「無限をいれる」というのは気持ちとしては分かるのですが、ややもすると誤解の元ですので…。
「無限に大きくする」や「無限に近づける」です。

∫[0,t] e^(-ax) dx = 1/a - 1/a・e^(-at)
いえ、 1/a - 1/( a・e^(at) ) と変形した方が分かり易いでしょうか。

これの t→+∞ での極限ということです。

で、a=1 や a=2 等具体例を試してみて下さい。
t を大きくすれば e^(at) の部分は際限なく大きくなりますから、逆に 1/( a・e^(at) ) と逆数になっていれば 0 に収束 ( 近づく ) ということです。

残るのは 1/a ということです。
No.45115 - 2017/08/07(Mon) 20:57:07
☆ 補足 / angel
あ。ちなみに収束するのは a＞0 の場合なので念のため。

a=0 の場合はそもそも積分計算が別
※e^(-ax)=e^0=1 なので定数関数の積分、不定積分は ∫dx=x+C

a＜0の場合は逆にe^(-at) は、t が大きくなるにつれ指数部分も大きくなり+∞に発散です。
No.45116 - 2017/08/07(Mon) 21:52:12
☆ Re: 高３ 定積分 / あり
2日考えてようやく分かりました。
ありがとうございました。
分からなかった理由はx=0の場合を無視して定積分しようとしたことでした。どうせ0だから定積分しても引かれる項はゼロだろうという安易な予断でした。つまりxに極限を代入した場合のみを考えていた訳です。(つまり答えが1/( a・e^(at) =0になる)
ゼロを代入すると結果的に1/aになることがよく分かりました。
有難うございました
> ∫[0,t] e^(-ax) dx = 1/a - 1/a・e^(-at)
> いえ、 1/a - 1/( a・e^(at) ) と変形した方が分かり易いでしょうか。

No.45150 - 2017/08/09(Wed) 15:53:17