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記事No.45154に関するスレッドです
★ 逆演算子（微分方程式） / たなお
添付画像の大問７の(2)について質問です。

(1) は証明できたのですが、(2)はどのように計算したらいいのでしょうか？
部分積分を使って力尽くで計算しようと思えばできるのですが、かなりめんどくさくなってしまいます。
このような問題の場合、全問で証明した式を利用するとかなり楽に計算できるのがセオリーだと思いますが、どうやったら楽に計算できるのかが分かりません。

楽な計算方法があればご教授願います。
※ちなみに記載されている正答は -x^3 でした。
No.45154 - 2017/08/09(Wed) 17:24:23
☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / たなお
補足です。
補足というより疑問かもしれませんが、部分積分を使って力尽くでけいさんすると、答えが

　-x^3 + x + 11/6

になるのですが、どこか計算がおかしいのでしょうか？
正答に記載されている通り -x^3 になりますか？
No.45155 - 2017/08/09(Wed) 18:11:35
☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / angel
> 答えが　-x^3 + x + 11/6　になるのですが、どこか計算がおかしいのでしょうか？

いえ、特に問題ないと思います。
答え -x^3 が正しいとするなら、問題の誤植でしょう。
x の係数が +30 ではなくて +36 になるはずです。
※逆の計算として (D-1)(D-2)(D-3)(-x^3) を計算してみるとそうなります
No.45167 - 2017/08/09(Wed) 23:47:23
☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / angel
> 部分積分を使って力尽くでけいさんすると、

それは少し力み過ぎな気が。

∫e^(-ax)・f(x)dx を部分積分してみると、

∫e^(-ax)・f(x)dx
= -1/a・e^(-ax)・f(x) - ∫(-1/a)・e^(-ax)・f'(x) dx
= -1/a・e^(-ax)・f(x) + 1/a・∫e^(-ax)・f'(x) dx

となって似た形に戻りますから、これを繰り返すと、

∫e^(-ax)・f(x)dx = -1/a・e^(-ax)・( f(x)+1/a・f'(x)+1/a^2・f''(x)+1/a^3・f'''(x)+… )

です。
今回のように f(x) が3次式だと、4階の微分でもう 0 になりますから、+… の部分がなくなりますね。

ちなみに、F(x)=6x^3-33x^2+36x-6 に対して ∫e^(-3x)・F(x)dx を計算する場合、

　x^3: 6 のまま
　x^2: -33+6×3/3=-27　※×3 は x^3 から、/3 はe^(-3x)から
　x^1: 36+(-27)×2/3=18
　x^0: -6+18×1/3=0

で、-1/3・e^(-3x)・(6x^3-27x^2+18x)=e^(-3x)・(-2x^3+9x^2-6x) とすると一発です。…まあ、覚えてもしようがない気はしますが。
No.45168 - 2017/08/10(Thu) 00:04:58
☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / たなお
angel さん

回答ありがとうございます。

やはり答えは-x^3 + x + 11/6になりますよね。
ありがとうございます。

やり方はやはりそれしかないですかね？私もそのやり方でやっていました（すこし説明不足でしたかね？）

与式は e^x∫e^x∫e^x∫e^(-3x)F(x)dxdxdx となるので、

　　p = ∫e^(-3x)F(x)dx　を計算（angelさんと同じ方法）
　　↓
　　q = ∫e^x・pdxを計算（angelさんと同じ方法）
　　↓
　　e^x∫e^x・qdxを計算（angelさんと同じ方法）

という順でやっていきました。
やはりそれしかないでしょうか？
No.45185 - 2017/08/10(Thu) 09:52:35
☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / ググ
それしかないか，という質問に対しては他にFourier変換(やLaplace変換)を使う方法も考えられます

Fourier変換のテーブルを使う場合積分計算を明に行う必要はなくなりますが，項数が多いので手数が多くなるのは仕方ないですね

x^3があるので，これをFourier変換して出て来るδ^(3)(k) [δ関数の3階微分]の前につく係数[1/{(D-1)(D-2)(D-3)}をFourier変換してでてくる1/{(ik-1)(ik-2)(ik-3)}のこと]δ^(3)(k)に吸収させるときに1/{(ik-1)(ik-2)(ik-3)}の3階微分の計算が必要になります．k=0での3階微分さえ分かればいいことと，部分分数分解を行うことで多少楽にできます

他には結果が多項式になることを使って積分ではなく微分操作で係数を決めていくという方法もありますが，これもひとつひとつの操作は楽ですが手数が多くなるのは変わりません
No.45196 - 2017/08/10(Thu) 14:07:41
☆ Re: 逆演算子（微分方程式） / たなお
ググさん

回答ありがとうございます。

フーリエ変換はまだ未学習ですが、学習したときに試してみようと思います。
手数が多くなるのは仕方ないんですね。。。
ありがとうございました！
No.45197 - 2017/08/10(Thu) 14:42:13