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記事No.45172に関するスレッドです
★ 上限下限について / tutuz
教科書に記載がある内容について教えてください。
独学で数学を学習している文系社会人です。

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x≦a[n] となるnが有限個しかない実数xの集合をA
x≦a[n] となるnが無限に存在する実数xの集合をB

とすると

☆Bの任意の元はAの下限、Aの任意の元はBの上限
すなわち、α∈R、α＝infA＝supB が成り立つとあります。

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なぜ、☆の部分が言えるのか、理由を解説いただけないでしょうか。

よろしくお願いします。
No.45165 - 2017/08/09(Wed) 23:40:00
☆ Re: 上限下限について / ググ
下限ではなく下界ではないですか？
（同様に上限ではなく上界ではないですか）

Aの下限といえば高々1点しか存在しません
なのでBの任意の元が「Aの下限」になるような状況はかなり限られます（少なくともBが高々1元集合でないといけない）し，たとえばa[n]=0 (∀n)ならBは非正実数全体なので明らかに「Bの任意の元がAの下限」ではありません

下界ならほぼ明らかで，ようするにBの任意の元bとAの任意の元aに対してb≦aだと言っているだけです．A,Bの定義よりこれはほぼ自明です

全ての実数がAかBかのどちらかに属することを考えればinfA=supBも分かります
No.45170 - 2017/08/10(Thu) 00:12:48
☆ Re: 上限下限について / tutuz
ググさん

返信ありがとうございます。
上"界"・下"界"の誤りです。失礼しました。

>ようするにBの任意の元bとAの任意の元aに対してb≦aだと言っているだけです．A,Bの定義よりこれはほぼ自明です
私が集合A,Bの定義の理解が浅く、自明であることがわからないのですが、A,Bの定義を図にすると画像のようなイメージであっていますでしょうか。
kは任意の整数です。
No.45172 - 2017/08/10(Thu) 01:11:05
☆ Re: 上限下限について / ググ
自明といったのは「A,Bが明確にイメージできていて，そのイメージから明らか」という意味ではなく，定義そのものからすぐ分かる，程度の意味で使いました

もう少し噛み砕くと，以下のような説明になります
まず集合Bから任意に元bを，集合Aから任意に元aを選びます
するとBの定義よりb≦a[n]となるnは無限に存在します
よって，もしa≦bならa≦a[n]となるnも無限に存在するはずですよね
しかしAの定義よりa≦a[n]となるnは有限個です
これはb<aである，ということです．

aとbはそれぞれA,Bから任意に選んできているので，☆が言えるわけです

集合A,Bのイメージですが，数列a[n]がどんな数列かによって変わってきます．少なくとも添付画像のようにはならないです．
ちなみに添付画像だとa[n]がnに対して単調に増加していることを仮定していますか？
だとしても（どんなkに対しても）a_kがA,Bの境目になることはないです．なぜならa_{k+1}もBに含まれるはずだからです．

たとえばa[n]があるαに収束するような場合だと，αがAとBの境目になります

a[n]が十分大きなnに対してαとβ（α＜β）の間を振動するような数列の場合は，βが境目になります

他にも±∞に発散したり，上に上げた以外の方法で振動したりといろいろなパターンがあるので一概にイメージするのは難しいです．（やれと言われればできますが，今回はそこまでする必要がないという言い方が一番正しいかも）
No.45173 - 2017/08/10(Thu) 01:29:35
☆ Re: 上限下限について / ググ
イメージは難しいと言ってしまいましたが単に上極限
limsup a_n
がAとBの境目になるだけですね

別に大して難しいわけではありませんでした．☆を確認するだけなら先に述べたようにA,Bの明確なイメージを持っている必要はありませんが（イメージがあるに越したことはないという言い方もできるのでどちらがいいのかよくわかりません）
No.45176 - 2017/08/10(Thu) 01:35:35
☆ Re: 上限下限について / tutuz
ググさん

>自明といったのは「A,Bが明確にイメージできていて，そのイメージから明らか」という意味ではなく，定義そのものからすぐ分かる，程度の意味で使いました

>もう少し噛み砕くと，以下のような説明になります
>まず集合Bから任意に元bを，集合Aから任意に元aを選びます
>するとBの定義よりb≦a[n]となるnは無限に存在します
>よって，もしa≦bならa≦a[n]となるnも無限に存在するはずですよね
>しかしAの定義よりa≦a[n]となるnは有限個です
>これはb<aである，ということです．
上記の解説で、なぜ明らかにBの任意の元はAの下界、Aの任意の元はBの上界なのか理解できました。
ありがとうございました！
No.45181 - 2017/08/10(Thu) 08:14:51