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記事No.45225に関するスレッドです
★ 高3 / しら
cosx+cosy=a
sinx+siny=b
ただしx,yは0からπとする
このx,yの範囲に解を持つようなa,bの存在範囲を図示せよ。
No.45158 - 2017/08/09(Wed) 22:44:04
☆ Re: 高3 / しら
教えてください！
No.45159 - 2017/08/09(Wed) 22:44:28
☆ Re: 高3 / ねふぇる
これじゃだめですか？
No.45161 - 2017/08/09(Wed) 22:53:39
☆ Re: 高3 / しら
一文字固定して出す方法はどうやればいいのでしょうか
No.45180 - 2017/08/10(Thu) 02:50:15
☆ Re: 高3 / angel
うーん…。
x,yの条件がなければ a^2+b^2≦4 だけで終わるのですが、x,yの範囲が定められてしまうとなかなか厳しいところです。

図形的に見るか、三角関数の性質を利用するか ( 実はどちらでもやってることは同じなのですが )、どちらかが必要です。

さて
> ただしx,yは0からπとする
これ、細かく分からないのですが、0＜x,y＜π としておきます。＜ではなく≦でもまあ少し違うだけなので。
それから、x≧y という条件も追加しておきます。追加しても問題的には全く影響がないので安全です。
※解答的には「x≧yと仮定して一般性を失わない」とかそんなやつ

さて、では問題の条件を
　cosx+cosy=a ⇔ 2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)=a
　sinx+siny=b ⇔ 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)=b
に変換しておきます。三角関数の和積ってやつです。

で、このままだと見辛いので、θ=(x+y)/2, φ=(x-y)/2 を導入しておきます。同時に x=θ+φ, y=θ-φ です。
0＜y≦x＜π から、
　0≦φ＜π/2, 0≦φ＜θ＜π-φ≦π
と整理できて、元の条件は
　cosθcosφ=a/2
　sinθcosφ=b/2
両辺を2乗して足すことで
　(cosφ)^2=(a^2+b^2)/4
φの条件からcosφ＞0 が分かるので、
　cosφ=1/2・√(a^2+b^2)
　0＜√(a^2+b^2)≦2
同時に、
　cosθ=a/√(a^2+b^2)
　sinθ=b/√(a^2+b^2)
です。

で、θの大きさの条件から sinθ＞0 つまり b＞0
…後は cos の条件の問題となります。

cosの条件に関しては、0≦φ＜θ＜π-φ≦πから
　-cosφ＜cosθ＜cosφ
つまり、
　-1/2・√(a^2+b^2)＜a/√(a^2+b^2)＜1/2・√(a^2+b^2)
整理すると
　a^2+2a+b^2＞0 かつ a^2-2a+b^2＞0

最後にまとめです。
　0＜a^2+b^2≦4
　b＞0
　a^2+2a+b^2＞0
　a^2-2a+b^2＞0
この4条件が求めるものです。

図示すると、半径2の円から、左右の半径1の円2つをくりぬいた上側のような領域になります。( 描いてみて下さい )
No.45198 - 2017/08/10(Thu) 14:46:34
☆ Re: / sin
angelさんのやつでも正しいですがそんなことをやらなくてもいけます。
ベクトルで考えてP＝（cosx,sinx）,Q＝（cosy,siny）,R＝（a,b）としておいてベクトル方程式に置き換えて図示すれば一発です。答えはπです
No.45199 - 2017/08/10(Thu) 14:53:40
☆ Re: 高3 / angel
sinさん
> 答えはπです
ん? それはどういうことですか?

しらさん
> 図形的に見るか、三角関数の性質を利用するか ( 実はどちらでもやってることは同じなのですが )、どちらかが必要です。

図形的に見ると添付の図のようになります。図中のθ,φが上の説明のθ,φに相当します。
一番の肝の φ＜θ＜π-φ も一目瞭然かと。
No.45202 - 2017/08/10(Thu) 16:11:18
☆ Re: 高3 / sin
πは領域の面積ですすみません
おうぎ形が月の弧を描くように移動していくのが目に見えるベクトル方程式の方が計算いらずで簡単なのではと思いました
No.45203 - 2017/08/10(Thu) 16:29:43
☆ Re: 高3 / angel
まあ、確かに、半円をぐるっと、中心もやはり半円の上を動くように動かすと、この問題の答えの領域が浮かび上がってはくるのですが…。
ただ、解答がちょっと書き辛いですね。
No.45225 - 2017/08/10(Thu) 20:39:33