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記事No.45327に関するスレッドです
★ 数学的帰納法 / たっつる
()内の問題に対してこのような答案を作ったのですが、この答案で大きな間違いはないでしょうか
自分自身でもα^k倍する部分等に不安があるので質問させていただきました
細かい部分は省略して書いています
No.45327 - 2017/08/12(Sat) 23:01:01
☆ Re: 数学的帰納法 / angel
特に問題ないと思います。
※ちょっと α^n+β^n-3^n と α^n-β^n-3^n と表記ゆれがあるのですが、前者として話を進めます

ちゃんと「5(α^k+β^k)だから5の倍数」と即断してないところもいいポイントです。

なお、「両辺をα^kして」で特に問題はないんですが、気になるようなら、

　αはx^2-3x+5=0 の解であるため、α^2-3α+5=0
　すなわち α^2=3α-5
　同様に β^2=3β-5

　α^(k+2)+β^(k+2)-3^(k+2)
　= α^2・α^k+β^2・β^k-3^(k+2)
　= (3α-5)α^k+(3β-5)β^k-3・3^(k+1)
　= 3(α^(k+1)+β^(k+1)-3^(k+1)) - 5(α^k+β^k)
　= 3(α^(k+1)+β^(k+1)-3^(k+1)) - 5(α^k+β^k-3^k) - 5・3^k

位の感じで進めると書き易いかもしれません。
No.45329 - 2017/08/12(Sat) 23:22:40
☆ Re: 数学的帰納法 / たっつる
回答ありがとうございます

α^n+β^n-3^nで正しいです、すみません
係数が5だからといって5の倍数だと断言してはいけないことも注意しておいてよかったです
わざわざ別解までありがとうございました
No.45337 - 2017/08/13(Sun) 10:46:50