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記事No.45452に関するスレッドです
★ 連立漸化式について / bigsky
連立漸化式でなにをかけて連立をするのか求める時の話なんですけど2行目のように考える理由がわかりません。教えてください
No.45452 - 2017/08/17(Thu) 15:39:04
☆ Re: 連立漸化式について / angel
> 2行目のように考える理由

その答えはですね、「そう考えると解くのに都合が良い ( ということが分かってる ) から」以外にないんですよ。

…これを自力で思いつく人は凄いと思うのですが、全員がそうである必要はなくて、大事なのは「じゃあ、どのように『都合が良い』のか」を理解することだと思います。
※理解していれば、似たような場面で、この方法を引き出しから取り出せるはずだから
No.45460 - 2017/08/17(Thu) 21:31:58
☆ Re: 連立漸化式について / angel
じゃあ、どのように都合が良いか。
それは、基本的なゼ漸化式で表せる、等比数列を作り出せるから、に他なりません。
※というか、漸化式を解けるの、大体、等差数列、等比数列、あとは階差数列からの和の数列くらいしか習わないので

たとえば、今回の問題とは別に、漸化式が
　a[n+1]=11a[n]+2b[n]
　b[n+1]=2a[n]+14b[n]
となっているような問題があるとしましょう。

ここで例えば、
　c[n]=a[n]-0.5b[n]
という数列を作ったとします。すると、
　c[n+1]
　=11a[n]+2b[n]-0.5(2a[n]+14b[n])
　=10a[n]-5b[n]
　=10(a[n]-0.5b[n])
　=10c[n]
という、公比10の等比数列になって、これは都合が良いわけです。

…でもじゃあ、この -0.5 なんてどっから出て来るの? と。こんなん閃けって言うの? というと、それは苦しいので、そこを調べるために方程式を活用しましょうか、というのが今回の話。

a[n+1]+pb[n+1]=q(a[n]+b[n]) という形を作り出したい、そのための p が知りたい。
ところで、a[n+1]+pb[n+1]=(11+2p)a[n]+… であることは分かるので、だとすると q=11+2p が都合が良い。
つまり、a[n+1]+pb[n+1]=(11+2p)(a[n]+pb[n]) と、これが成立する ( b[n]の係数も一致する ) p が見つかると大変都合が良い、と。そうなるわけです。
No.45462 - 2017/08/17(Thu) 22:11:50