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記事No.45518に関するスレッドです
★ ベクトルの微分・積分 / たなお
添付画像の大問８の(2)が分かりません。

単元が「ベクトルの微分・積分」のため、微分や積分を使ってとくのだと思いますが、うまく解けません。A × A' = 0 ということは、ベクトルA が回転しないということは図形的（？）には理解できるのですが、数式でそれを示せません。

ご教授よろしくおねがいいたします。
No.45518 - 2017/08/20(Sun) 13:39:54
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお
少し訂正です。

誤：ベクトルA が回転しない
正：ベクトルA の方向が変化しない
No.45519 - 2017/08/20(Sun) 13:42:33
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / X
↑A'の定義がどこにも書かれていませんが
↑A'=(d/dt)↑A
の意味と解釈して回答を。

ベクトルが回転しない、ということではなくて
↑A×↑A'=↑0⇔↑A//↑A'
ということです。
従って
↑A'=a↑A
(aは定数)
と表すことができます。
これをx,y,z各成分について、微分方程式を
解くことにより
↑A={e^(at)}↑u
(↑uは任意の定ベクトル)
∴↑A/|↑A|={e^(at)}↑u/{{e^(at)}|↑u|}
=↑u/|↑u|=(定ベクトル)
となります。
No.45525 - 2017/08/20(Sun) 17:58:37
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお
理解できました。ありがとうございます。
No.45529 - 2017/08/20(Sun) 19:26:03
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / angel
Xさん

> ↑A'=a↑A
> (aは定数)

とは限らないです。
あくまで、「A'=aA となるスカラ(関数) a がある」です。

なので、e^(at) が導き出せる保証はなくて、あくまで

　(A/|A|)'
　=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3
　=( |A|^2・aA-(aA・A)A )/|A|^3
　=( a|A|^2・A - a|A|^2・A )/|A|^3
　=o ( 0ベクトル )　よって A/|A| は一定

と持っていく必要があると思います。
No.45555 - 2017/08/22(Tue) 00:54:09
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / angel
或いは、外積の公式、ベクトル3重積

　A×(B×C)=(A・C)B-(A・B)C

を知っていれば、


　(A/|A|)'
　=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3
　=( A×(A'×A) )/|A|^3
　=(A×(-o))/|A|^3
　=o

とダイレクトに導くこともできます。
No.45557 - 2017/08/22(Tue) 01:07:33
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお
angel さん

ありがとうございます。
一箇所途中式を追加していただきたいのですが。。

＞(A/|A|)'
＞=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3

この間をお願いします。
　　
　　(A/|A|)'
　= (|A|・A' - |A|'・A)/|A|^2

から変形していったんですよね？
計算力が乏しくてすいません。。。。
No.45586 - 2017/08/22(Tue) 21:53:33
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / angel
> ＞(A/|A|)'
> ＞=( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3
>
> この間をお願いします。

A・A=|A|^2 ですから、A/|A|=(A・A)^(-1/2)・A と見れば、スカラ倍・内積という違いはあれど、同じ「積の微分」として扱えます。
※最初から分数にするよりも、まずは指数を負にして積の形にした方が簡明

　(A/|A|)'
　= ( (A・A)^(-1/2)・A )'
　= (A・A)^(-1/2)・A' + ( (A・A)^(-1/2) )'・A
　= (A・A)^(-1/2)・A' + (-1/2)・(A・A)'・(A・A)^(-3/2)・A
　= (A・A)^(-1/2)・A' + (-1/2)・(2A'・A)・(A・A)^(-3/2)・A
　= |A|^(-1)・A' - (A'・A)・|A|^(-3)・A
　= ( |A|^2・A'-(A'・A)A )/|A|^3
No.45588 - 2017/08/22(Tue) 22:17:25
☆ Re: ベクトルの微分・積分 / たなお
理解できました！ありがとうございます！
No.45593 - 2017/08/23(Wed) 00:37:35